Calcule o plano tangente à função em .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o plano tangente à função no ponto . Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, onde a gente aprende como encontrar planos que “encaixam” perfeitamente em superfícies em pontos específicos. Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais e a fórmula do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um plano tangente. Imagine que você tem uma superfície 3D, como uma bola. O plano tangente é como uma folha de papel que toca a superfície em apenas um ponto e “segue” a inclinação da superfície nesse ponto. Matemáticamente, a equação do plano tangente em um ponto é dada por:
onde e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de .
A derivada parcial em relação a é:
A derivada parcial em relação a ��:

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto .
Para :
Para :

Passo 5

Vamos calcular o valor de no ponto :

Passo 6

Agora, substituímos esses valores na equação do plano tangente:

Resposta

O plano tangente à função no ponto é dado por:

Exercícios relacionados

Neste exercício seu objetivo será estimar o valor de por meio de uma aproximação linear.
c. Qual a estimativa para a partir do cálculo que você fez no item anterior?
Encontre a equação do plano tangente à esfera no ponto (1, 2, 3).
Suponha que não dispomos de calculadora ou de outro instrumento de cálculo e precisamos resolver o seguintes problema: Se representa a temperatura num ponto numa certa região do plano, encontre uma aproximação linear para próximo ao ponto (1,0). Estime a temperatura em .