Calcule o plano tangente à função
em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o plano tangente à função
no ponto
. Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, onde a gente aprende como encontrar planos que “encaixam” perfeitamente em superfícies em pontos específicos. Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais e a fórmula do plano tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um plano tangente. Imagine que você tem uma superfície 3D, como uma bola. O plano tangente é como uma folha de papel que toca a superfície em apenas um ponto e “segue” a inclinação da superfície nesse ponto. Matemáticamente, a equação do plano tangente em um ponto
é dada por:
onde
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
.
A derivada parcial em relação a
é:
A derivada parcial em relação a
��:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto
.
Para
:
Para
:
Passo 5
Vamos calcular o valor de
no ponto
:
Passo 6
Agora, substituímos esses valores na equação do plano tangente:
Resposta
O plano tangente à função
no ponto
é dado por:
Exercícios relacionados
Neste exercício seu objetivo será estimar o valor de
por meio de uma aproximação linear.
c. Qual a estimativa para a partir do cálculo que você fez no item anterior?
c. Qual a estimativa para
Encontre a equação do plano tangente à esfera
no ponto (1, 2, 3).
Suponha que não dispomos de calculadora ou de outro instrumento de cálculo e precisamos resolver o seguintes problema: Se
representa a temperatura num ponto
numa certa região do plano, encontre uma aproximação linear para
próximo ao ponto (1,0). Estime a temperatura em
.