Suponha que não dispomos de calculadora ou de outro instrumento de cálculo e precisamos resolver o seguintes problema: Se representa a temperatura num ponto numa certa região do plano, encontre uma aproximação linear para próximo ao ponto (1,0). Estime a temperatura em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função que representa a temperatura num ponto , dada por . O objetivo é encontrar uma aproximação linear dessa função perto do ponto e, com isso, estimar a temperatura em .
Para resolver isso, vamos usar o conceito de linearização, que é uma maneira de aproximar funções complicadas por retas ou planos mais simples perto de um ponto específico. Para isso, precisaremos calcular as derivadas parciais da função em relação a e no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto :
Então, .

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
Derivada parcial em relação a ( ):
A primeira parte é derivar que dá 1, multiplicado por , e a segunda parte é derivar que dá , multiplicado por .
No ponto :
Derivada parcial em relação a ( ):
Aqui, derivamos em relação a , que dá , multiplicado por .
No ponto :

Passo 4

Com os valores de , e encontrados, podemos montar a aproximação linear usando a fórmula:
Onde . Substituindo os valores:
Então, a aproximação linear é:

Passo 5

Agora, vamos usar essa aproximação para estimar a temperatura em :

Resposta

A temperatura estimada em é aproximadamente 1.00242.

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Encontre a equação do plano tangente à esfera no ponto (1, 2, 3).
Calcule o plano tangente à função em .
Suponha que . Calcule .