Suponha que não dispomos de calculadora ou de outro instrumento de cálculo e precisamos resolver o seguintes problema: Se
representa a temperatura num ponto
numa certa região do plano, encontre uma aproximação linear para
próximo ao ponto (1,0). Estime a temperatura em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma função que representa a temperatura num ponto
, dada por
. O objetivo é encontrar uma aproximação linear dessa função perto do ponto
e, com isso, estimar a temperatura em
.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de linearização, que é uma maneira de aproximar funções complicadas por retas ou planos mais simples perto de um ponto específico. Para isso, precisaremos calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
no ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor da função
no ponto
:
Então,
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Derivada parcial em relação a
(
):
A primeira parte é derivar
que dá 1, multiplicado por
, e a segunda parte é derivar
que dá
, multiplicado por
.
No ponto
:
Derivada parcial em relação a
(
):
Aqui, derivamos
em relação a
, que dá
, multiplicado por
.
No ponto
:
Passo 4
Com os valores de
,
e
encontrados, podemos montar a aproximação linear
usando a fórmula:
Onde
. Substituindo os valores:
Então, a aproximação linear é:
Passo 5
Agora, vamos usar essa aproximação para estimar a temperatura em
:
Resposta
A temperatura estimada em
é aproximadamente 1.00242.
Exercícios relacionados
Encontre a equação do plano tangente à esfera
no ponto (1, 2, 3).
Calcule o plano tangente à função
em
.
Suponha que
. Calcule
.