Encontre a equação do plano tangente à esfera no ponto (1, 2, 3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente à esfera dada pela equação no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos tangentes a superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um plano tangente. Um plano tangente a uma esfera em um ponto específico é aquele que toca a esfera apenas nesse ponto e é perpendicular ao raio da esfera nesse ponto. Ou seja, o vetor que vai do centro da esfera até o ponto de tangência é normal ao plano.

Passo 3

No nosso caso, a esfera é . O centro dessa esfera está na origem . O ponto de tangência dado é . O vetor que conecta o centro da esfera a esse ponto é simplesmente .

Passo 4

Agora, para encontrar a equação do plano tangente, usamos a fórmula:
onde são as componentes do vetor normal ao plano, que nesse caso é o vetor , e é o ponto de tangência .

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula, temos:
Agora, vamos simplificar essa equação.

Passo 6

Distribuindo os termos:
Somando os termos semelhantes:

Resposta

A equação do plano tangente à esfera no ponto é:

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