Encontre a equação do plano tangente à esfera
no ponto (1, 2, 3).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente à esfera dada pela equação
no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos tangentes a superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um plano tangente. Um plano tangente a uma esfera em um ponto específico é aquele que toca a esfera apenas nesse ponto e é perpendicular ao raio da esfera nesse ponto. Ou seja, o vetor que vai do centro da esfera até o ponto de tangência é normal ao plano.
Passo 3
No nosso caso, a esfera é
. O centro dessa esfera está na origem
. O ponto de tangência dado é
. O vetor que conecta o centro da esfera a esse ponto é simplesmente
.
Passo 4
Agora, para encontrar a equação do plano tangente, usamos a fórmula:
onde
são as componentes do vetor normal ao plano, que nesse caso é o vetor
, e
é o ponto de tangência
.
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula, temos:
Agora, vamos simplificar essa equação.
Passo 6
Distribuindo os termos:
Somando os termos semelhantes:
Resposta
A equação do plano tangente à esfera no ponto
é:
Exercícios relacionados
Calcule o plano tangente à função
em
.
Suponha que não dispomos de calculadora ou de outro instrumento de cálculo e precisamos resolver o seguintes problema: Se
representa a temperatura num ponto
numa certa região do plano, encontre uma aproximação linear para
próximo ao ponto (1,0). Estime a temperatura em
.