Usando uma calculadora ou um aplicativo para calcular alguns valores de f(x) = x * sen(x) próximo de x = 0, tente adivinhar se o limite de f quando x tende a zero existe. Você seria capaz de justificar matematicamente esse resultado?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente tem a função e precisa descobrir se o limite dela quando se aproxima de zero existe. Para isso, vamos usar alguns valores próximos de zero na função para tentar “adivinhar” o limite e depois justificar isso matematicamente. Vamos precisar entender um pouco sobre limites e como funções trigonométricas se comportam perto de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular alguns valores de para próximo de zero. Vamos escolher valores positivos e negativos bem perto de zero:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Observando esses valores, percebemos que conforme se aproxima de zero, está chegando cada vez mais perto de zero.

Passo 3

Agora, vamos pensar na matemática por trás disso. Sabemos que é uma função trigonométrica que, para valores pequenos de , aproximadamente iguala-se a em radianos. Ou seja, quando é próximo de zero:
Então, a função fica aproximadamente:
E sabemos que tende a zero quando tende a zero.

Passo 4

Além disso, podemos usar uma propriedade importante dos limites. Sabemos que para todo . Então, podemos dizer que:
E já que , pelo Teorema do Sandwich (também conhecido como Teorema da “Gaiola”), concluímos que:

Resposta

O limite de quando tende a zero existe e é igual a 0.

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