Usando uma calculadora ou um aplicativo para calcular alguns valores de
próximo de
, tente adivinhar se o limite de
quando
tende a zero existe. Você seria capaz de justificar matematicamente esse resultado?
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente tem a função e precisa descobrir se o limite dela quando
se aproxima de zero existe. Para isso, vamos usar alguns valores próximos de zero na função para tentar “adivinhar” o limite e depois justificar isso matematicamente. Vamos precisar entender um pouco sobre limites e como funções trigonométricas se comportam perto de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular alguns valores de para
próximo de zero. Vamos escolher valores positivos e negativos bem perto de zero:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Observando esses valores, percebemos que conforme
se aproxima de zero,
está chegando cada vez mais perto de zero.
Passo 3
Agora, vamos pensar na matemática por trás disso. Sabemos que é uma função trigonométrica que, para valores pequenos de
, aproximadamente iguala-se a
em radianos. Ou seja, quando
é próximo de zero:
Então, a função fica aproximadamente:
E sabemos que
tende a zero quando
tende a zero.
Passo 4
Além disso, podemos usar uma propriedade importante dos limites. Sabemos que para todo
. Então, podemos dizer que:
E já que
, pelo Teorema do Sandwich (também conhecido como Teorema da “Gaiola”), concluímos que:
Resposta
O limite de quando
tende a zero existe e é igual a 0.