Obtenha a inversa da matriz:
A=[ccc -3 & 4 & -5 0 & 1 & 2 3 & -5 & 4 ]
A soma de todos os elementos da inversa é igual a:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a inversa da matriz e depois somar todos os elementos dessa inversa. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes inversas e determinantes. Precisaremos calcular o determinante de , a matriz adjunta e, por fim, a inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz A = -3 & 4 & -5 0 & 1 & 2 3 & -5 & 4 . O determinante é essencial para saber se uma matriz tem inversa. Se o determinante for zero, a matriz não tem inversa. A matriz det(A) = -3 cdot 1 & 2 -5 & 4 - 4 cdot 0 & 2 3 & 4 -5 cdot 0 & 1 3 & -5 é:
1 & 2 -5 & 4 = (1)(4) - (2)(-5) = 4 + 10 = 14
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a expansão por menores. Vamos usar a expansão:
0 & 2 3 & 4 = (0)(4) - (2)(3) = 0 - 6 = -6
Calculando os determinantes menores:
0 & 1 3 & -5 = (0)(-5) - (1)(3) = 0 - 3 = -3
det(A) = -3(14) - 4(-6) -5(-3) = -42 + 24 + 15 = -3
Agora, substituindo de volta:

Passo 3

Como o determinante de A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) é diferente de zero ( ), sabemos que a matriz tem inversa. Agora, vamos encontrar essa inversa. A fórmula para a inversa de uma matriz 3x3 é:
Onde é a matriz adjunta de . Para encontrar a adjunta, precisamos calcular a matriz dos cofatores e depois transpor essa matriz.

Passo 4

Vamos calcular os cofatores de cada elemento de C11 = 1 & 2 -5 & 4 = 14 :
C12 = - 0 & 2 3 & 4 = -(-6) = 6
C13 = 0 & 1 3 & -5 = -3
C21 = - 4 & -5 -5 & 4 = -((4)(4) - (-5)(-5)) = -(16 - 25) = 9
C22 = -3 & -5 3 & 4 = (-3)(4) - (-5)(3) = -12 + 15 = 3
C23 = - -3 & 4 3 & -5 = -((-3)(-5) - (4)(3)) = -15 + 12 = -3
C31 = 4 & -5 1 & 2 = (4)(2) - (-5)(1) = 8 + 5 = 13
C32 = - -3 & -5 0 & 2 = -((-3)(2) - (-5)(0)) = -(-6 - 0) = 6
C33 = -3 & 4 0 & 1 = (-3)(1) - (4)(0) = -3 - 0 = -3
Cof(A) = 14 & 6 & -3 9 & 3 & -3 13 & 6 & -3
Então, a matriz de cofatores é:

Passo 5

Agora, vamos transpor a matriz de cofatores para obter a adjunta:
adj(A) = 14 & 9 & 13 6 & 3 & 6 -3 & -3 & -3
Finalmente, multiplicamos pela A^-1 = 1-3 cdot 14 & 9 & 13 6 & 3 & 6 -3 & -3 & -3 = -143 & -3 & -133 -2 & -1 & -2 1 & 1 & 1 :

Passo 6

Agora que temos a inversa Soma = -143 + (-3) + -133 + (-2) + (-1) + (-2) + 1 + 1 + 1 , vamos somar todos os seus elementos:
Soma = (-143 - 133) + (-3 -2 -1 -2) + (1 + 1 + 1) = -273 + (-8) + 3 = -9 -8 +3 = -14
Vamos simplificar:

Resposta

A soma de todos os elementos da inversa é igual a -14. A opção correta é d. -14.

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