A soma de todos os elementos da inversa é igual a:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a inversa da matriz e depois somar todos os elementos dessa inversa. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes inversas e determinantes. Precisaremos calcular o determinante de , a matriz adjunta e, por fim, a inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz A = -3 & 4 & -5 0 & 1 & 2 3 & -5 & 4 . O determinante é essencial para saber se uma matriz tem inversa. Se o determinante for zero, a matriz não tem inversa. A matriz det(A) = -3 cdot 1 & 2 -5 & 4 - 4 cdot 0 & 2 3 & 4 -5 cdot 0 & 1 3 & -5 é:
1 & 2 -5 & 4 = (1)(4) - (2)(-5) = 4 + 10 = 14
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a expansão por menores. Vamos usar a expansão:
Como o determinante de A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) é diferente de zero (), sabemos que a matriz tem inversa. Agora, vamos encontrar essa inversa. A fórmula para a inversa de uma matriz 3x3 é:
Onde é a matriz adjunta de . Para encontrar a adjunta, precisamos calcular a matriz dos cofatores e depois transpor essa matriz.
Passo 4
Vamos calcular os cofatores de cada elemento de C11 = 1 & 2 -5 & 4 = 14 :