Obtenha a inversa da matriz:
A soma de todos os elementos da inversa é igual a:

Escolha uma opção:

a. b. A não possui inversac. d. -14e. -17

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a inversa da matriz e depois somar todos os elementos dessa inversa. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes inversas e determinantes. Precisaremos calcular o determinante de , a matriz adjunta e, por fim, a inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz . O determinante é essencial para saber se uma matriz tem inversa. Se o determinante for zero, a matriz não tem inversa. A matriz é:
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a expansão por menores. Vamos usar a expansão:
Calculando os determinantes menores:
Agora, substituindo de volta:

Passo 3

Como o determinante de é diferente de zero ( ), sabemos que a matriz tem inversa. Agora, vamos encontrar essa inversa. A fórmula para a inversa de uma matriz 3x3 é:
Onde é a matriz adjunta de . Para encontrar a adjunta, precisamos calcular a matriz dos cofatores e depois transpor essa matriz.

Passo 4

Vamos calcular os cofatores de cada elemento de :
Então, a matriz de cofatores é:

Passo 5

Agora, vamos transpor a matriz de cofatores para obter a adjunta:
Finalmente, multiplicamos pela :

Passo 6

Agora que temos a inversa , vamos somar todos os seus elementos:
Vamos simplificar:

Resposta

A soma de todos os elementos da inversa é igual a -14. A opção correta é d. -14.

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