Encontre uma base para os seguintes espaços vetoriais
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar uma base para o espaço vetorial
que é formado por vetores do tipo
onde
são números reais. Isso tá relacionado ao conteúdo de Espaços Vetoriais e Bases. Para resolver isso, vamos precisar identificar vetores que possam gerar todo o espaço
através de combinações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar o vetor
de uma forma que mostre claramente como os parâmetros
influenciam cada componente. Podemos reescrever isso como:
Passo 3
Agora, o que a gente fez foi separar os coeficientes
para ver quais vetores independentes estão multiplicando cada um deles. Esses vetores que multiplicam os parâmetros são candidatos a formar a base do espaço
.
Passo 4
Vamos conferir se esses vetores são de fato uma base. Para isso, eles precisam ser linearmente independentes e gerar todo o espaço
. Como cada vetor está associado a um parâmetro diferente e não há como um deles ser uma combinação dos outros, eles são linearmente independentes. Além disso, qualquer vetor em
pode ser formado combinando esses vetores com os coeficientes
.
Resposta
Portanto, uma base para o espaço vetorial
é: