Encontre uma base para os seguintes espaços vetoriais
V=(-a, b, 2 c, a,-b) in R^4: a, b, c in R

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar uma base para o espaço vetorial que é formado por vetores do tipo onde são números reais. Isso tá relacionado ao conteúdo de Espaços Vetoriais e Bases. Para resolver isso, vamos precisar identificar vetores que possam gerar todo o espaço através de combinações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar o vetor (-a, b, 2c, a, -b) = a cdot (-1, 0, 0, 1, 0) + b cdot (0, 1, 0, 0, -1) + c cdot (0, 0, 2, 0, 0) de uma forma que mostre claramente como os parâmetros influenciam cada componente. Podemos reescrever isso como:

Passo 3

Agora, o que a gente fez foi separar os coeficientes para ver quais vetores independentes estão multiplicando cada um deles. Esses vetores que multiplicam os parâmetros são candidatos a formar a base do espaço .

Passo 4

Vamos conferir se esses vetores são de fato uma base. Para isso, eles precisam ser linearmente independentes e gerar todo o espaço . Como cada vetor está associado a um parâmetro diferente e não há como um deles ser uma combinação dos outros, eles são linearmente independentes. Além disso, qualquer vetor em pode ser formado combinando esses vetores com os coeficientes .

Resposta

Portanto, uma base para o espaço vetorial , (-1, 0, 0, 1, 0),; (0, 1, 0, 0, -1),; (0, 0, 2, 0, 0) , é:

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