Calcule o polinômio característico de

Passo 1

Beleza, vamos calcular o polinômio característico dessa matriz . Primeiro, o que é o polinômio característico? É um polinômio que nos ajuda a encontrar os valores próprios (autovalores) de uma matriz. Para isso, usamos o determinante da matriz , onde é a matriz identidade e representa os autovalores que estamos procurando.

Passo 2

Vamos montar a matriz . A matriz identidade do mesmo tamanho que (4x4) é:
Subtraindo vezes de , temos:

Passo 3

Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz . O determinante nos dá o polinômio característico. Para matrizes 4x4, pode parecer complicado, mas vamos aproveitar que a matriz é quase em bloco, facilitando a conta.
Observamos que a matriz está dividida em blocos:
onde
Para matrizes em bloco diagonal, o determinante é o produto dos determinantes dos blocos. Então,

Passo 4

Vamos calcular :
Agora, :

Passo 5

Multiplicando os determinantes dos blocos:
Esse é o polinômio característico da matriz .

Resposta

O polinômio característico de é:

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Calcular .
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