Calcule o polinômio característico de
A=(cccc 2 & 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & -1 0 & 0 & 1 & 1 )

Passo 1

Beleza, vamos calcular o polinômio característico dessa matriz . Primeiro, o que é o polinômio característico? É um polinômio que nos ajuda a encontrar os valores próprios (autovalores) de uma matriz. Para isso, usamos o determinante da matriz , onde é a matriz identidade e representa os autovalores que estamos procurando.

Passo 2

Vamos montar a matriz I = 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 . A matriz identidade A - lambda I = 2 - lambda & 1 & 0 & 0 0 & 2 - lambda & 0 & 0 0 & 0 & 1 - lambda & -1 0 & 0 & 1 & 1 - lambda do mesmo tamanho que (4x4) é:
Subtraindo vezes de , temos:

Passo 3

Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz B & 0 0 & C . O determinante nos dá o polinômio característico. Para matrizes 4x4, pode parecer complicado, mas vamos aproveitar que a matriz é quase em bloco, facilitando a conta.
Observamos que a matriz está dividida em blocos:
B = 2 - lambda & 1 0 & 2 - lambda , C = 1 - lambda & -1 1 & 1 - lambda
onde
det(A - lambda I) = det(B) cdot det(C)
Para matrizes em bloco diagonal, o determinante é o produto dos determinantes dos blocos. Então,

Passo 4

Vamos calcular det(B) = (2 - lambda)(2 - lambda) - (0)(1) = (2 - lambda)^2 :
det(C) = (1 - lambda)(1 - lambda) - (-1)(1) = (1 - lambda)^2 + 1 = lambda^2 - 2lambda + 2
Agora, :

Passo 5

Multiplicando os determinantes dos blocos:
det(A - lambda I) = (2 - lambda)^2 (lambda^2 - 2lambda + 2)
Esse é o polinômio característico da matriz .

Resposta

O polinômio característico de boxed(2 - lambda)^2 (lambda^2 - 2lambda + 2) é:

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