Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as coordenadas de um vetor na base 8 -1 3 , dado que ele está representado na base canônica por . Para isso, vamos usar o conceito de mudança de base, que envolve transformar as coordenadas de um vetor de uma base para outra.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que na base canônica 8 -1 3 de , qualquer polinômio de grau até 2 pode ser representado como , onde são os coeficientes correspondentes aos vetores da base . Então, o vetor corresponde ao polinômio .
Passo 3
Agora, queremos expressar esse mesmo polinômio 8 - t + 3t^2 = x cdot 1 + y cdot (1 + t) + z cdot (1 + t^2) na base . Isso significa encontrar escalares tais que:
Passo 4
Vamos expandir o lado direito da equação:
x cdot 1 + y cdot (1 + t) + z cdot (1 + t^2) = x + y + y t + z + z t^2
Agrupando os termos semelhantes:
(x + y + z) + y t + z t^2
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois polinômios:
x + y + z = 8 y = -1 z = 3
Passo 6
Já temos x + (-1) + 3 = 8 x + 2 = 8 x = 6 e . Substituindo esses valores na primeira equação: