Considere as bases ordenadas B=1,1+t, 1+t^2 e C a base canônica de P2(R).
© Se vC=(c8 -1 3), encontre vB.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as coordenadas de um vetor na base 8 -1 3 , dado que ele está representado na base canônica por . Para isso, vamos usar o conceito de mudança de base, que envolve transformar as coordenadas de um vetor de uma base para outra.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que na base canônica 8 -1 3 de , qualquer polinômio de grau até 2 pode ser representado como , onde são os coeficientes correspondentes aos vetores da base . Então, o vetor corresponde ao polinômio .

Passo 3

Agora, queremos expressar esse mesmo polinômio 8 - t + 3t^2 = x cdot 1 + y cdot (1 + t) + z cdot (1 + t^2) na base . Isso significa encontrar escalares tais que:

Passo 4

Vamos expandir o lado direito da equação:
x cdot 1 + y cdot (1 + t) + z cdot (1 + t^2) = x + y + y t + z + z t^2
Agrupando os termos semelhantes:
(x + y + z) + y t + z t^2

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois polinômios:
x + y + z = 8 y = -1 z = 3

Passo 6

Já temos x + (-1) + 3 = 8 x + 2 = 8 x = 6 e . Substituindo esses valores na primeira equação:

Resposta

As coordenadas de 6 -1 3 na base são .

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