Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a matriz é diagonalizável. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a autovalores e autovetores. Precisamos encontrar os autovalores de e verificar se a soma das dimensões dos espaços próprios (autovetores) é igual ao tamanho da matriz. Vamos resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, encontramos os autovalores de . Para isso, calculamos o polinômio característico, que é dado por , onde é a matriz identidade e representa os autovalores.
Passo 3
Observando a estrutura da matriz , percebemos que ela é uma matriz triangular superior (todas as entradas abaixo da diagonal principal são zero). Para matrizes triangulares, os autovalores são simplesmente os elementos da diagonal principal. Então, os autovalores de são:
Passo 4
Agora, identificamos a multiplicidade algébrica de cada autovalor, ou seja, quantas vezes cada autovalor aparece na diagonal:
Passo 5
Para uma matriz ser diagonalizável, a soma das multiplicidades geométricas (dimensões dos espaços próprios) deve ser igual ao tamanho da matriz. Como todos os autovalores possuem multiplicidade algébrica 1 e são distintos, automaticamente a multiplicidade geométrica também será 1 para cada um.
Passo 6
Então, a soma das multiplicidades geométricas é:
Como isso é igual ao tamanho da matriz , concluímos que é diagonalizável.
Resposta
Sim, a matriz é diagonalizável porque possui 5 autovalores distintos, garantindo que a soma das dimensões dos espaços próprios seja igual ao tamanho da matriz.