A matriz A abaixo é diagonalizável? Porque?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a matriz é diagonalizável. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a autovalores e autovetores. Precisamos encontrar os autovalores de e verificar se a soma das dimensões dos espaços próprios (autovetores) é igual ao tamanho da matriz. Vamos resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, encontramos os autovalores de . Para isso, calculamos o polinômio característico, que é dado por , onde é a matriz identidade e representa os autovalores.

Passo 3

Observando a estrutura da matriz , percebemos que ela é uma matriz triangular superior (todas as entradas abaixo da diagonal principal são zero). Para matrizes triangulares, os autovalores são simplesmente os elementos da diagonal principal. Então, os autovalores de são:

Passo 4

Agora, identificamos a multiplicidade algébrica de cada autovalor, ou seja, quantas vezes cada autovalor aparece na diagonal:

Passo 5

Para uma matriz ser diagonalizável, a soma das multiplicidades geométricas (dimensões dos espaços próprios) deve ser igual ao tamanho da matriz. Como todos os autovalores possuem multiplicidade algébrica 1 e são distintos, automaticamente a multiplicidade geométrica também será 1 para cada um.

Passo 6

Então, a soma das multiplicidades geométricas é:
Como isso é igual ao tamanho da matriz , concluímos que é diagonalizável.

Resposta

Sim, a matriz é diagonalizável porque possui 5 autovalores distintos, garantindo que a soma das dimensões dos espaços próprios seja igual ao tamanho da matriz.

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