Calcule o polinômio característico de

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o polinômio característico da matriz . Isso faz parte da matéria de álgebra linear, mais especificamente sobre autovalores e autovetores. Para isso, vamos precisar usar o conceito de determinante e saber como montar a matriz , onde é uma incógnita e é a matriz identidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o polinômio característico. Ele é um polinômio que a gente consegue a partir da matriz e é definido por:
Aqui, representa o determinante da matriz, e é uma variável escalar. O polinômio característico é importante porque suas raízes são os autovalores da matriz .

Passo 3

Agora, vamos montar a matriz . A matriz identidade do mesmo tamanho que (neste caso, 4x4) é:
Multiplicando por , temos:
Subtraindo isso da matriz , obtemos :

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante de , ou seja, . Para matrizes triangulares (onde todos os elementos abaixo ou acima da diagonal principal são zero), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal.
Observando nossa matriz , podemos notar que ela não é triangular, mas ela é bloco triangular, o que facilita o cálculo do determinante. A matriz pode ser dividida em blocos:
Nessa forma, o determinante da matriz inteira é o produto dos determinantes dos blocos diagonais.

Passo 5

Vamos calcular os determinantes dos blocos diagonais separadamente.
Primeiro bloco:
O determinante desse bloco é:
Segundo bloco:
O determinante desse bloco é:

Passo 6

Agora, multiplicamos os determinantes dos blocos para obter o determinante total de :

Resposta

O polinômio característico de é:

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