Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o polinômio característico da matriz . Isso faz parte da matéria de álgebra linear, mais especificamente sobre autovalores e autovetores. Para isso, vamos precisar usar o conceito de determinante e saber como montar a matriz , onde é uma incógnita e é a matriz identidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o polinômio característico. Ele é um polinômio que a gente consegue a partir da matriz p(lambda) = det(A - lambda I) e é definido por:
Aqui, representa o determinante da matriz, e é uma variável escalar. O polinômio característico é importante porque suas raízes são os autovalores da matriz .
Agora, vamos calcular o determinante de (cc|cc 2 - lambda & 1 & 0 & 0 0 & 2 - lambda & 0 & 0 hline 0 & 0 & 1 - lambda & 0 0 & 0 & 1 & 1 - lambda ) , ou seja, . Para matrizes triangulares (onde todos os elementos abaixo ou acima da diagonal principal são zero), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal.
Observando nossa matriz , podemos notar que ela não é triangular, mas ela é bloco triangular, o que facilita o cálculo do determinante. A matriz pode ser dividida em blocos:
Nessa forma, o determinante da matriz inteira é o produto dos determinantes dos blocos diagonais.
Passo 5
Vamos calcular os determinantes dos blocos diagonais separadamente.