Calcule o polinômio característico de
A=(llll 2 & 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 1 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o polinômio característico da matriz . Isso faz parte da matéria de álgebra linear, mais especificamente sobre autovalores e autovetores. Para isso, vamos precisar usar o conceito de determinante e saber como montar a matriz , onde é uma incógnita e é a matriz identidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o polinômio característico. Ele é um polinômio que a gente consegue a partir da matriz p(lambda) = det(A - lambda I) e é definido por:
Aqui, representa o determinante da matriz, e é uma variável escalar. O polinômio característico é importante porque suas raízes são os autovalores da matriz .

Passo 3

Agora, vamos montar a matriz I = (cccc 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 ) . A matriz identidade lambda I = (cccc lambda & 0 & 0 & 0 0 & lambda & 0 & 0 0 & 0 & lambda & 0 0 & 0 & 0 & lambda ) do mesmo tamanho que A - lambda I = (cccc 2 - lambda & 1 & 0 & 0 0 & 2 - lambda & 0 & 0 0 & 0 & 1 - lambda & 0 0 & 0 & 1 & 1 - lambda ) (neste caso, 4x4) é:
Multiplicando por , temos:
Subtraindo isso da matriz , obtemos :

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante de (cc|cc 2 - lambda & 1 & 0 & 0 0 & 2 - lambda & 0 & 0 hline 0 & 0 & 1 - lambda & 0 0 & 0 & 1 & 1 - lambda ) , ou seja, . Para matrizes triangulares (onde todos os elementos abaixo ou acima da diagonal principal são zero), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal.
Observando nossa matriz , podemos notar que ela não é triangular, mas ela é bloco triangular, o que facilita o cálculo do determinante. A matriz pode ser dividida em blocos:
Nessa forma, o determinante da matriz inteira é o produto dos determinantes dos blocos diagonais.

Passo 5

Vamos calcular os determinantes dos blocos diagonais separadamente.
Primeiro bloco:
(cc 2 - lambda & 1 0 & 2 - lambda )
O determinante desse bloco é:
(2 - lambda)(2 - lambda) - (0 times 1) = (2 - lambda)^2
Segundo bloco:
(cc 1 - lambda & 0 1 & 1 - lambda )
O determinante desse bloco é:
(1 - lambda)(1 - lambda) - (1 times 0) = (1 - lambda)^2

Passo 6

Agora, multiplicamos os determinantes dos blocos para obter o determinante total de det(A - lambda I) = (2 - lambda)^2 times (1 - lambda)^2 :

Resposta

O polinômio característico de p(lambda) = (2 - lambda)^2 (1 - lambda)^2 é:

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