Considere W subespaço vetorial de R^4, onde W=[(1,1,-1,-1),(0,-2,1,0),(1,3,-3,-2)]
O vetor (-2,-12,10,5) in W ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um subespaço vetorial W de R^4 gerado pelos vetores (1,1,-1,-1), (0,-2,1,0) e (1,3,-3,-2). A pergunta é: o vetor (-2,-12,10,5) pertence a esse subespaço W? Para descobrir isso, vamos verificar se conseguimos escrever o vetor dado como uma combinação linear dos vetores que geram W. Isso envolve resolver um sistema de equações lineares.

Passo 2

Vamos chamar os dados de coordenadas dos vetores geradores de W de v1 = (1,1,-1,-1), v2 = (0,-2,1,0) e v3 = (1,3,-3,-2). Queremos saber se existe uma combinação linear desses vetores que resulte no vetor u = (-2,-12,10,5). Ou seja, queremos encontrar escalares a, b e c tais que:
a cdot v1 + b cdot v2 + c cdot v3 = u
Isso se traduz nas seguintes equações:
a cdot 1 + b cdot 0 + c cdot 1 = -2 a cdot 1 + b cdot (-2) + c cdot 3 = -12 a cdot (-1) + b cdot 1 + c cdot (-3) = 10 a cdot (-1) + b cdot 0 + c cdot (-2) = 5

Passo 3

Vamos simplificar essas equações:
  1. a + 0b + c = -2 a + c = -2 [Equação 1]
  2. a - 2b + 3c = -12 [Equação 2]
  3. -a + b - 3c = 10 [Equação 3]
  4. -a + 0b - 2c = 5 -a - 2c = 5 [Equação 4]

Passo 4

Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiro, da Equação 1:
a + c = -2 Rightarrow a = -2 - c
Agora, substituímos a na Equação 4:
-(-2 - c) - 2c = 5 2 + c - 2c = 5 2 - c = 5 -c = 3 c = -3

Passo 5

Agora que temos c = -3, substituímos na Equação 1 para achar a:
a = -2 - c = -2 - (-3) = -2 + 3 = 1
Então, a = 1 e c = -3.

Passo 6

Agora, vamos substituir a e c na Equação 2 para encontrar b:
1 - 2b + 3(-3) = -12 1 - 2b - 9 = -12 -2b - 8 = -12 -2b = -12 + 8 -2b = -4 b = 2

Passo 7

Vamos verificar se esses valores satisfazem a Equação 3:
-1 + 2 - 3(-3) = -1 + 2 + 9 = 10
Está tudo certo!

Resposta

Sim, o vetor (-2,-12,10,5) pertence a W, pois existe uma combinação linear que o representa: a = 1, b = 2, c = -3.

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