Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um subespaço vetorial de gerado pelos vetores , e . A pergunta é: o vetor pertence a esse subespaço ? Para descobrir isso, vamos verificar se conseguimos escrever o vetor dado como uma combinação linear dos vetores que geram . Isso envolve resolver um sistema de equações lineares.
Passo 2
Vamos chamar os dados de coordenadas dos vetores geradores de de , e . Queremos saber se existe uma combinação linear desses vetores que resulte no vetor . Ou seja, queremos encontrar escalares , e tais que:
Isso se traduz nas seguintes equações:
Passo 3
Vamos simplificar essas equações:
a + 0b + c = -2 → a + c = -2 [Equação 1]
a - 2b + 3c = -12 [Equação 2]
-a + b - 3c = 10 [Equação 3]
-a + 0b - 2c = 5 → -a - 2c = 5 [Equação 4]
Passo 4
Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiro, da Equação 1:
a + c = -2 Rightarrow a = -2 - c
Agora, substituímos a na Equação 4:
-(-2 - c) - 2c = 5 2 + c - 2c = 5 2 - c = 5 -c = 3 c = -3
Passo 5
Agora que temos c = -3, substituímos na Equação 1 para achar a:
a = -2 - c = -2 - (-3) = -2 + 3 = 1
Então, a = 1 e c = -3.
Passo 6
Agora, vamos substituir a e c na Equação 2 para encontrar b: