Considere subespaço vetorial de , onde
O vetor ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um subespaço vetorial de gerado pelos vetores , e . A pergunta é: o vetor pertence a esse subespaço ? Para descobrir isso, vamos verificar se conseguimos escrever o vetor dado como uma combinação linear dos vetores que geram . Isso envolve resolver um sistema de equações lineares.

Passo 2

Vamos chamar os dados de coordenadas dos vetores geradores de de , e . Queremos saber se existe uma combinação linear desses vetores que resulte no vetor . Ou seja, queremos encontrar escalares , e tais que:
Isso se traduz nas seguintes equações:

Passo 3

Vamos simplificar essas equações:
  1. [Equação 1]
  2. [Equação 2]
  3. [Equação 3]
  4. [Equação 4]

Passo 4

Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiro, da Equação 1:
Agora, substituímos na Equação 4:

Passo 5

Agora que temos , substituímos na Equação 1 para achar :
Então, e .

Passo 6

Agora, vamos substituir e na Equação 2 para encontrar :

Passo 7

Vamos verificar se esses valores satisfazem a Equação 3:
Está tudo certo!

Resposta

Sim, o vetor pertence a , pois existe uma combinação linear que o representa: , , .

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Seja
Demonstrar que os vetores: e conformam uma base de .
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Determine se o conjunto é L.D. ou L.I.