Considere W subespaço vetorial de R^4, onde W=[(1,1,-1,-1),(0,-2,1,0),(1,3,-3,-2)]
O vetor (1,0,0,0) in W ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um subespaço vetorial de gerado pelos vetores , e . A pergunta é: o vetor pertence a ? Para descobrir isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais e a combinação linear de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um vetor estar em a cdot (1,1,-1,-1) + b cdot (0,-2,1,0) + c cdot (1,3,-3,-2) = (1,0,0,0) . Se é gerado pelos três vetores dados, então qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores. Isso quer dizer que existe algum conjunto de escalares , e tais que:

Passo 3

Vamos expandir essa equação componente por componente. Isso nos dará um sistema de equações que precisamos resolver para encontrar os valores de a + 0b + c = 1 & (componente 1) a - 2b + 3c = 0 & (componente 2) - a + b - 3c = 0 & (componente 3) - a + 0b - 2c = 0 & (componente 4) , e :

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema de equações passo a passo. Começamos com a quarta equação:
- a - 2c = 0 Rightarrow a = -2c

Passo 5

Substituímos -2c + c = 1 Rightarrow -c = 1 Rightarrow c = -1 na primeira equação:
Então, .

Passo 6

Com os valores de -2 + b - 3(-1) = 0 Rightarrow -2 + b + 3 = 0 Rightarrow b = -1 e encontrados, substituímos na terceira equação para encontrar :

Passo 7

Agora, verificamos se esses valores satisfazem a segunda equação:
2 - 2(-1) + 3(-1) = 2 + 2 - 3 = 1 neq 0
Aqui percebemos que não é igual a , o que significa que não há solução consistente para esse sistema de equações.

Resposta

Não, o vetor não pertence a .

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