Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o polinômio característico da matriz . Esse polinômio é importante porque nos dá informações sobre os valores próprios da matriz. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra linear, especialmente sobre como lidar com matrizes em blocos. Vamos dar uma olhada na estrutura da matriz e ver como podemos simplificar nosso trabalho usando essa dica.
Passo 2
Primeiro, lembre-se de que o polinômio característico de uma matriz é dado por , onde é a matriz identidade e é uma variável escalar. O determinante nos dá um polinômio em que será nosso polinômio característico.
Passo 3
Agora, observando a matriz , vemos que ela é uma matriz grande de , mas com uma estrutura em blocos mais simples. A dica sugere explorar essa estrutura em blocos, então vamos identificar esses blocos.
Passo 4
Vamos reorganizar a matriz A = B & C 0 & D para visualizar melhor os blocos:
Aqui, e são blocos diagonais, é um bloco acima da diagonal, e o bloco abaixo deles é zero. Essa estrutura é chamada de matriz triangular em blocos.
Passo 5
Uma propriedade legal das matrizes triangulares em blocos é que o determinante da matriz completa é o produto dos determinantes dos blocos diagonais. Ou seja:
Observando , vemos que ela também tem zeros na primeira coluna abaixo da diagonal, o que facilita o cálculo do determinante. Podemos expandir esse determinante: