Seja
uma matriz
cujos autovalores são 9 e -3 associados, respectivamente, a
e
.
Defina
. A inversa de
pode ser expressa como:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G) Não sei
Defina
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G) Não sei
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O problema nos dá uma matriz
de tamanho
com dois autovalores, 9 e -3, associados aos vetores próprios
e
, respectivamente. Queremos descobrir qual das alternativas nos dá a inversa de
. Para isso, vamos usar conceitos de matrizes, autovalores, vetores próprios e inversão de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se uma matriz
pode ser diagonalizada, isso significa que ela pode ser escrita na forma:
Aqui,
é a matriz formada pelos vetores próprios de
(no caso,
e
), e
é uma matriz diagonal cujos elementos são os autovalores correspondentes a esses vetores próprios.
Passo 3
Dado que os autovalores de
são 9 e -3, podemos escrever a matriz diagonal
assim:
Passo 4
Agora, queremos encontrar a inversa de
, ou seja,
. Sabendo que
, podemos inverter ambos os lados da equação:
Usando a propriedade de que
, temos:
Passo 5
Vamos agora encontrar
, que é a inversa da matriz diagonal
. Para uma matriz diagonal, a inversa é simplesmente a matriz diagonal com os elementos invertidos. Assim:
Passo 6
Substituindo
na equação de
, temos:
Resposta
A inversa de
é dada por:
Portanto, a alternativa correta é a Opção E.