Seja A uma matriz 2 times 2 cujos autovalores são 9 e -3 associados, respectivamente, a v1 e v2.
Defina M=[llv1 & v2]. A inversa de A pode ser expressa como:
(A) A^-1=M[rr9 & 0 0 & -3] M^-1
(B) A^-1=M[rr-9 & 0 0 & 3] M^-1
© A^-1=M^-1[rr9 & 0 0 & -3] M
(D) A^-1=M^-1[rr19 & 0 0 & -13] M
(E) A^-1=M[rr19 & 0 0 & -13] M^-1
(F) A^-1=M^-1[rr-9 & 0 0 & 3] M
(G) Não sei

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O problema nos dá uma matriz de tamanho com dois autovalores, 9 e -3, associados aos vetores próprios e , respectivamente. Queremos descobrir qual das alternativas nos dá a inversa de . Para isso, vamos usar conceitos de matrizes, autovalores, vetores próprios e inversão de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se uma matriz A = M D M^-1 pode ser diagonalizada, isso significa que ela pode ser escrita na forma:
Aqui, é a matriz formada pelos vetores próprios de (no caso, e ), e é uma matriz diagonal cujos elementos são os autovalores correspondentes a esses vetores próprios.

Passo 3

Dado que os autovalores de D = 9 & 0 0 & -3 são 9 e -3, podemos escrever a matriz diagonal assim:

Passo 4

Agora, queremos encontrar a inversa de A^-1 = (M D M^-1)^-1 , ou seja, A^-1 = M D^-1 M^-1 . Sabendo que , podemos inverter ambos os lados da equação:
Usando a propriedade de que , temos:

Passo 5

Vamos agora encontrar D^-1 = 19 & 0 0 & -13 , que é a inversa da matriz diagonal . Para uma matriz diagonal, a inversa é simplesmente a matriz diagonal com os elementos invertidos. Assim:

Passo 6

Substituindo A^-1 = M 19 & 0 0 & -13 M^-1 na equação de , temos:

Resposta

A inversa de A^-1 = M 19 & 0 0 & -13 M^-1 é dada por:
Portanto, a alternativa correta é a Opção E.

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