Seja T: R^3 R^3 a transformação
T(x, y, z)=(2 x+5 y-3 z, y2-4 z, z)
e seja Q subset R^3 um paralelepípedo com volume 6 . O volume do paralelepípedo transformado T(Q) :
(A) é menor do que o volume de Q.
(B) é igual ao volume de Q.
© é maior do que o volume de Q.
(D) pode ser maior ou menor do que o volume de Q.
(E) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma transformação linear que mapeia pontos de para usando a fórmula dada. Temos também um paralelepípedo com volume 6. Queremos descobrir como o volume desse paralelepípedo muda quando aplicamos a transformação . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o determinante de uma matriz associada à transformação linear, já que o determinante nos diz como o volume muda.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz que representa a transformação linear T(x, y, z) = (2x + 5y - 3z, y2 - 4z, z) . A transformação A = 2 & 5 & -3 0 & 12 & -4 0 & 0 & 1 é dada por:
Para escrever a matriz de , colocamos os coeficientes de , e em colunas:

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(A) = 2 times 12 times 1 = 1 . O determinante de uma matriz nos ajuda a entender como a transformação afeta o volume. Se o determinante for 1, o volume não muda; se for maior que 1, o volume aumenta; se for menor que 1, o volume diminui.
A matriz é uma matriz triangular (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), o que facilita o cálculo do determinante. Para matrizes triangulares, o determinante é apenas o produto dos elementos da diagonal principal.
Então, temos:

Passo 4

Agora que sabemos o determinante é 1, isso significa que a transformação não altera o volume do paralelepípedo. O volume após a transformação será o mesmo que antes.

Resposta

A alternativa correta é a letra B) é igual ao volume de .

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