Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma transformação linear que mapeia pontos de para usando a fórmula dada. Temos também um paralelepípedo com volume 6. Queremos descobrir como o volume desse paralelepípedo muda quando aplicamos a transformação . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o determinante de uma matriz associada à transformação linear, já que o determinante nos diz como o volume muda.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz que representa a transformação linear . A transformação é dada por:
Para escrever a matriz de , colocamos os coeficientes de , e em colunas:
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(A) = 2 times 12 times 1 = 1 . O determinante de uma matriz nos ajuda a entender como a transformação afeta o volume. Se o determinante for 1, o volume não muda; se for maior que 1, o volume aumenta; se for menor que 1, o volume diminui.
A matriz é uma matriz triangular (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), o que facilita o cálculo do determinante. Para matrizes triangulares, o determinante é apenas o produto dos elementos da diagonal principal.
Então, temos:
Passo 4
Agora que sabemos o determinante é 1, isso significa que a transformação não altera o volume do paralelepípedo. O volume após a transformação será o mesmo que antes.
Resposta
A alternativa correta é a letra B) é igual ao volume de .