Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
, então
é diagonalizável.
II - Se
e
então
é simétrica.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
© Todas são verdadeiras.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Não sei
I - Se
II - Se
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
© Todas são verdadeiras.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Não sei
Passo 1
Beleza, vamos analisar esse exercício juntos! A questão apresenta duas afirmações sobre matrizes e pede para determinar quais são verdadeiras. Vamos precisar entender conceitos de matrizes simétricas, diagonalizabilidade e o que significa o núcleo (Ker) de uma matriz. Vamos por partes!
Passo 2
Afirmação I: “Se
, então
é diagonalizável.”
Primeiro,
significa que a matriz
é simétrica. Um fato importante da álgebra linear é que todas as matrizes simétricas são diagonalizáveis. Isso ocorre porque elas possuem um conjunto de vetores próprios ortogonais que formam uma base para o espaço.
Portanto, a Afirmação I é verdadeira.
Passo 3
Afirmação II: “Se
e
, então
é simétrica.”
Vamos entender o que isso significa:
-
: Isso nos dá uma imagem da transformação linear para o vetor . -
: O núcleo de é o conjunto de vetores que manda para o zero, e aqui é gerado pelo vetor .
Para que uma matriz
seja simétrica, ela deve satisfazer
. No entanto, as informações dadas não garantem essa propriedade. Saber a imagem de um vetor e o núcleo da matriz não é suficiente para concluir que
é simétrica. Sem informações adicionais sobre os outros vetores ou sobre a estrutura completa da matriz, não podemos afirmar que
é simétrica.
Portanto, a Afirmação II é falsa.
Resposta
(B) Apenas I é verdadeira.