Considere as afirmativas abaixo:
I - Se B=B^T, então B é diagonalizável.
II - Se C(5,-2)=(-10,4) e Ker C=span(8,20) então C é simétrica.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
© Todas são verdadeiras.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos analisar esse exercício juntos! A questão apresenta duas afirmações sobre matrizes e pede para determinar quais são verdadeiras. Vamos precisar entender conceitos de matrizes simétricas, diagonalizabilidade e o que significa o núcleo (Ker) de uma matriz. Vamos por partes!

Passo 2

Afirmação I: “Se , então é diagonalizável.”
Primeiro, significa que a matriz é simétrica. Um fato importante da álgebra linear é que todas as matrizes simétricas são diagonalizáveis. Isso ocorre porque elas possuem um conjunto de vetores próprios ortogonais que formam uma base para o espaço.
Portanto, a Afirmação I é verdadeira.

Passo 3

Afirmação II: “Se e , então é simétrica.”
Vamos entender o que isso significa:
  1. : Isso nos dá uma imagem da transformação linear para o vetor .
  2. : O núcleo de é o conjunto de vetores que manda para o zero, e aqui é gerado pelo vetor .
Para que uma matriz seja simétrica, ela deve satisfazer . No entanto, as informações dadas não garantem essa propriedade. Saber a imagem de um vetor e o núcleo da matriz não é suficiente para concluir que é simétrica. Sem informações adicionais sobre os outros vetores ou sobre a estrutura completa da matriz, não podemos afirmar que é simétrica.
Portanto, a Afirmação II é falsa.

Resposta

(B) Apenas I é verdadeira.

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