Seja
uma matriz simétrica
e
a forma quadrática associada. Se o espectro de
é
, podemos afirmar que:
(A)
para todo
e existe
com
.
(B)
para todo
e existe
com
.
©
para todo
.
(D)
para todo
.
(E) existem
e
tais que
.
(F) Não sei
(A)
(B)
©
(D)
(E) existem
(F) Não sei
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma matriz simétrica
de tamanho
e uma forma quadrática associada definida por
. O enunciado nos diz que o espectro (ou seja, os autovalores) de
são
. Nosso objetivo é determinar qual das alternativas apresentadas está correta com base nesses autovalores. Para resolver isso, vamos usar conceitos de formas quadráticas e matrizes simétricas.
Passo 2
Primeiro, é importante entender o que significa uma matriz simétrica e seu espectro. Uma matriz simétrica é igual à sua transposta, ou seja,
. Uma propriedade chave das matrizes simétricas é que todos os seus autovalores são reais, e podemos diagonalizar a matriz usando uma base de autovetores ortogonais.
Passo 3
A forma quadrática
nos dá informações sobre a natureza geométrica associada à matriz
. O sinal de
para todos os vetores não nulos
está relacionado aos autovalores de
:
- Se todos os autovalores são positivos,
para todo (forma positiva definida). - Se todos os autovalores são negativos,
para todo (forma negativa definida). - Se há autovalores positivos e negativos, a forma é indefinida.
Passo 4
Agora, vamos analisar os autovalores de
:
. Todos eles são negativos. Isso indica que a forma quadrática
é negativa definida, ou seja, para todo vetor
, teremos
.
Passo 5
Vamos conferir as alternativas com base nessa conclusão:
-
(A)
para todo e existe com .
Não corresponde, poisé sempre negativo. -
(B)
para todo e existe com .
Quase, mas no caso de forma negativa definida,nunca é zero para . -
©
para todo .
Errado, é o oposto. -
(D)
para todo .
Correto! Isso é exatamente o que determinamos. -
(E) Existem
e tais que .
Não, já queé sempre negativo. -
(F) Não sei.
Não aplicável.
Resposta
A alternativa correta é a (D):
para todo
.