Seja A uma matriz simétrica 5 times 5 e f(v)=v^T A v a forma quadrática associada. Se o espectro de A é -3,-6,-1, podemos afirmar que:
(A) f(v) >= 0 para todo v e existe w neq 0 com f(w)=0.
(B) f(v) <= 0 para todo v e existe w neq 0 com f(w)=0.
© f(v)>0 para todo v neq 0.
(D) f(v)<0 para todo v neq 0.
(E) existem v e w tais que f(v)<0.
(F) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma matriz simétrica de tamanho e uma forma quadrática associada definida por . O enunciado nos diz que o espectro (ou seja, os autovalores) de são . Nosso objetivo é determinar qual das alternativas apresentadas está correta com base nesses autovalores. Para resolver isso, vamos usar conceitos de formas quadráticas e matrizes simétricas.

Passo 2

Primeiro, é importante entender o que significa uma matriz simétrica e seu espectro. Uma matriz simétrica é igual à sua transposta, ou seja, . Uma propriedade chave das matrizes simétricas é que todos os seus autovalores são reais, e podemos diagonalizar a matriz usando uma base de autovetores ortogonais.

Passo 3

A forma quadrática nos dá informações sobre a natureza geométrica associada à matriz . O sinal de para todos os vetores não nulos está relacionado aos autovalores de :
  • Se todos os autovalores são positivos, para todo (forma positiva definida).
  • Se todos os autovalores são negativos, para todo (forma negativa definida).
  • Se há autovalores positivos e negativos, a forma é indefinida.

Passo 4

Agora, vamos analisar os autovalores de : . Todos eles são negativos. Isso indica que a forma quadrática é negativa definida, ou seja, para todo vetor , teremos .

Passo 5

Vamos conferir as alternativas com base nessa conclusão:
  • (A) para todo e existe com .
    Não corresponde, pois é sempre negativo.
  • (B) para todo e existe com .
    Quase, mas no caso de forma negativa definida, nunca é zero para .
  • © para todo .
    Errado, é o oposto.
  • (D) para todo .
    Correto! Isso é exatamente o que determinamos.
  • (E) Existem e tais que .
    Não, já que é sempre negativo.
  • (F) Não sei.
    Não aplicável.

Resposta

A alternativa correta é a (D): para todo .

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