Seja B uma base ortonormal de V^3. Determine o ângulo entre os vetores u e v, sabendo que [u]B=(1,10,200) e [v]B=(-10,1,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos dois vetores, e , representados pelas coordenadas e em uma base ortonormal de . Nosso objetivo aqui é descobrir o ângulo entre esses dois vetores. Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, especificamente o produto escalar e a norma dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar entre u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3 e u cdot v = (1)(-10) + (10)(1) + (200)(0) = -10 + 10 + 0 = 0 . O produto escalar de dois vetores em uma base ortonormal é dado pela soma dos produtos de suas coordenadas correspondentes. A fórmula é:
Substituindo pelos valores:

Passo 3

Agora, vamos calcular a norma (ou comprimento) de cada vetor. A norma de um vetor ||w|| = raizw1^2 + w2^2 + w3^2 é dada por:
||u|| = raiz1^2 + 10^2 + 200^2 = raiz1 + 100 + 40000 = raiz40101 approx 200.25
Para ||v|| = raiz(-10)^2 + 1^2 + 0^2 = raiz100 + 1 + 0 = raiz101 approx 10.05 :
Para :

Passo 4

Com o produto escalar e as normas calculadas, podemos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre os dois vetores:
cos theta = u cdot v||u|| cdot ||v||
Substituindo os valores:
cos theta = 0200.25 times 10.05 = 02014.53 = 0

Passo 5

Para encontrar o ângulo theta = arccos(0) , usamos a função arco cosseno:
Sabemos que .

Resposta

O ângulo entre os vetores e é de .

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