Seja
uma base ortonormal de
. Determine o ângulo entre os vetores
e
, sabendo que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos dois vetores,
e
, representados pelas coordenadas
e
em uma base ortonormal
de
. Nosso objetivo aqui é descobrir o ângulo entre esses dois vetores. Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, especificamente o produto escalar e a norma dos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto escalar entre
e
. O produto escalar de dois vetores em uma base ortonormal é dado pela soma dos produtos de suas coordenadas correspondentes. A fórmula é:
Substituindo pelos valores:
Passo 3
Agora, vamos calcular a norma (ou comprimento) de cada vetor. A norma de um vetor
é dada por:
Para
:
Para
:
Passo 4
Com o produto escalar e as normas calculadas, podemos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre os dois vetores:
Substituindo os valores:
Passo 5
Para encontrar o ângulo
, usamos a função arco cosseno:
Sabemos que
.
Resposta
O ângulo entre os vetores
e
é de
.