Seja uma base de .
(1) Mostre que também é base de , onde .
(2) Determine as coordenadas na base do vetor , sabendo que .
(3) Determine as coordenadas na base do vetor , sabendo que .
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma base do espaço vetorial . A primeira parte quer que a gente mostre que outro conjunto de vetores também forma uma base de . Para isso, vamos precisar usar o conceito de independente linear e de transformação de coordenadas.
Passo 2
Para mostrar que é uma base, precisamos verificar se os vetores são linearmente independentes. Uma maneira prática de fazer isso é verificar se a matriz formada pelas coordenadas desses vetores na base tem determinante diferente de zero, o que garante que os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base.
Dados:
Vamos montar a matriz cujas colunas são esses vetores:
Como o determinante , concluímos que os vetores são linearmente independentes. Portanto, é de fato uma base de .
Passo 5
Agora, vamos para a segunda parte: determinar as coordenadas do vetor a = -1 cdot u + 1 cdot v + 2 cdot w na base a = -1 1 2 1 + 1 1 -1 -1 + 2 2 1 4 , sabendo que .
Por último, vamos determinar as coordenadas do vetor b = 1 cdot x - 3 cdot y + 2 cdot z na base b = c1 cdot u + c2 cdot v + c3 cdot w , sabendo que .
Primeiro, expressamos em termos da base :
Nosso objetivo é encontrar tal que:
Passo 8
Para encontrar as coordenadas u = 1x + 2y + 1z, v = 1x -1y -1z, w = 2x +1y +4z , podemos resolver o sistema linear que resulta da igualdade das duas expressões de c1 (1, 2, 1) + c2 (1, -1, -1) + c3 (2, 1, 4) = (1, -3, 2) . Sabendo que:
Parte (1): é uma base de porque os vetores são linearmente independentes, já que o determinante da matriz formada por suas coordenadas na base é diferente de zero ().