Seja B=(x, y, z) uma base de V^3.
(1) Mostre que C=(u, v, w) também é base de V^3, onde [u]B=(1,2,1),[v]B=(1,-1,-1) e[w]B=(2,1,4).
(2) Determine as coordenadas na base B do vetor a, sabendo que [a]C=(-1,1,2).
(3) Determine as coordenadas na base C do vetor b, sabendo que [b]B=(1,-3,2).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma base do espaço vetorial . A primeira parte quer que a gente mostre que outro conjunto de vetores também forma uma base de . Para isso, vamos precisar usar o conceito de independente linear e de transformação de coordenadas.

Passo 2

Para mostrar que [u]B = 1 2 1 , [v]B = 1 -1 -1 , [w]B = 2 1 4 é uma base, precisamos verificar se os vetores M = 1 & 1 & 2 2 & -1 & 1 1 & -1 & 4 são linearmente independentes. Uma maneira prática de fazer isso é verificar se a matriz formada pelas coordenadas desses vetores na base tem determinante diferente de zero, o que garante que os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base.
Dados:
Vamos montar a matriz cujas colunas são esses vetores:

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(M) = 1 cdot -1 & 1 -1 & 4 - 1 cdot 2 & 1 1 & 4 + 2 cdot 2 & -1 1 & -1 :
-1 & 1 -1 & 4 = (-1)(4) - (1)(-1) = -4 + 1 = -3
Calculando cada menor:
2 & 1 1 & 4 = (2)(4) - (1)(1) = 8 - 1 = 7
2 & -1 1 & -1 = (2)(-1) - (-1)(1) = -2 + 1 = -1
det(M) = 1 cdot (-3) - 1 cdot 7 + 2 cdot (-1) = -3 - 7 - 2 = -12
Substituindo de volta:

Passo 4

Como o determinante , concluímos que os vetores são linearmente independentes. Portanto, é de fato uma base de .

Passo 5

Agora, vamos para a segunda parte: determinar as coordenadas do vetor a = -1 cdot u + 1 cdot v + 2 cdot w na base a = -1 1 2 1 + 1 1 -1 -1 + 2 2 1 4 , sabendo que .
Primeiro, lembrando que significa:
Substituindo os vetores na base :

Passo 6

Vamos calcular cada termo:
-1 1 2 1 = -1 -2 -1
1 1 -1 -1 = 1 -1 -1
2 2 1 4 = 4 2 8
Somando tudo:
a = -1 -2 -1 + 1 -1 -1 + 4 2 8 = (-1+1+4) (-2-1+2) (-1-1+8) = 4 -1 6
Portanto, as coordenadas de na base são .

Passo 7

Por último, vamos determinar as coordenadas do vetor b = 1 cdot x - 3 cdot y + 2 cdot z na base b = c1 cdot u + c2 cdot v + c3 cdot w , sabendo que .
Primeiro, expressamos em termos da base :
Nosso objetivo é encontrar tal que:

Passo 8

Para encontrar as coordenadas u = 1x + 2y + 1z, v = 1x -1y -1z, w = 2x +1y +4z , podemos resolver o sistema linear que resulta da igualdade das duas expressões de c1 (1, 2, 1) + c2 (1, -1, -1) + c3 (2, 1, 4) = (1, -3, 2) . Sabendo que:
c1 + c2 + 2c3 = 1 2c1 - c2 + c3 = -3 c1 - c2 + 4c3 = 2
Substituindo na expressão de :
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 9

Vamos resolver esse sistema. Podemos usar o método de substituição ou eliminação. Vou optar pela eliminação.
Primeiro, da primeira equação:
c1 = 1 - c2 - 2c3
Substituindo 2(1 - c2 - 2c3) - c2 + c3 = -3 2 - 2c2 - 4c3 - c2 + c3 = -3 2 -3c2 -3c3 = -3 -3c2 -3c3 = -5 c2 + c3 = 53 (dividindo por -3) na segunda e terceira equações:
Na segunda equação:
(1 - c2 - 2c3) - c2 + 4c3 = 2 1 - c2 -2c3 -c2 +4c3 = 2 1 -2c2 +2c3 = 2 -2c2 +2c3 = 1 -c2 + c3 = 12 (dividindo por 2)
Na terceira equação:

Passo 10

Agora temos:
c2 + c3 = 53 -c2 + c3 = 12
Vamos somar as duas equações para eliminar (c2 + c3) + (-c2 + c3) = 53 + 12 2c3 = 106 + 36 = 136 c3 = 1312 :
c2 + 1312 = 53 c2 = 53 - 1312 = 2012 - 1312 = 712
Substituindo c1 = 1 - c2 - 2c3 = 1 - 712 - 2 cdot 1312 = 1212 - 712 - 2612 = -2112 = -74 na primeira equação:
Agora, retornamos à expressão de :

Resposta

  1. Parte (1): é uma base de porque os vetores são linearmente independentes, já que o determinante da matriz formada por suas coordenadas na base é diferente de zero ( ).
  2. Parte (2): As coordenadas do vetor na base são .
  3. Parte (3): As coordenadas do vetor na base são .

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