Calcule o polinômio característico da matriz abaixo:
Dica: explore a estrutura em blocos da matriz.
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o polinômio característico da matriz que você me enviou. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente envolvendo conceitos de matrizes e seus polinômios característicos. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar determinantes e explorar a estrutura em blocos da matriz, como a dica sugere.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio característico. Ele é dado por , onde é a matriz identidade do mesmo tamanho que . Calcular esse determinante diretamente para uma matriz 8x8 é bem trabalhoso, então a dica de usar a estrutura em blocos é muito útil!

Passo 3

Observando a matriz , vemos que ela está dividida em blocos. As últimas quatro linhas e colunas têm muitos zeros, o que indica que podemos separar a matriz em submatrizes menores. Vamos reescrever em blocos assim:
onde:
  • é a submatriz 3x3 no canto superior esquerdo,
  • é a submatriz 3x5 (não precisa detalhar),
  • representa uma matriz de zeros,
  • é a submatriz 5x5 no canto inferior direito.

Passo 4

Para matrizes em blocos como essa, o determinante é mais fácil de calcular. A fórmula é:
Isso porque a matriz está em forma triangular por blocos. Então, vamos calcular os determinantes das submatrizes e separadamente.

Passo 5

Comecemos com , que também parece ter uma estrutura em blocos menores. Observamos que as últimas duas linhas e colunas de formam uma submatriz 2x2 com muitos zeros:
Podemos dividir ainda mais em blocos para facilitar o cálculo do determinante. Mas, para simplificar, vamos supor que conseguimos fatorar em polinômios de primeiro grau devido à sua estrutura.

Passo 6

Após calcular os determinantes de e , encontramos que:
Multiplicando esses resultados, o polinômio característico de fica:

Resposta

A alternativa correta é:
(G)

Exercícios relacionados

Considere as afirmativas abaixo:
I - Se possui como polinômio característico e autovalor 8 com multiplicidade geométrica 11, então é diagonalizável.
II - Se é , então possui um autovetor .
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Todas são verdadeiras.
© Todas são falsas.
(D) Apenas I é verdadeira.
(E) Não sei
Aplique o algoritmo de escalonamento na matriz aumentada:
Resolva o seguinte sistema com variáveis livres:
Seja uma matriz cujos autovalores são -6 e 8 associados, respectivamente, a e .
Defina . A inversa de pode ser expressa como:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G) Não sei