Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
possui como polinômio característico
e autovalor 8 com multiplicidade geométrica 11, então
é diagonalizável.
II - Se
é
, então
possui um autovetor
.
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Todas são verdadeiras.
© Todas são falsas.
(D) Apenas I é verdadeira.
(E) Não sei
I - Se
II - Se
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Todas são verdadeiras.
© Todas são falsas.
(D) Apenas I é verdadeira.
(E) Não sei
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem duas afirmações sobre matrizes e autovalores. O conteúdo envolve polinômios característicos, multiplicidade geométrica e diagonalização de matrizes. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que significa uma matriz ser diagonalizável, o que são autovalores e autovetores, e como eles se relacionam com o polinômio característico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a afirmação I:
“Se
possui como polinômio característico
e autovalor 8 com multiplicidade geométrica 11, então
é diagonalizável.”
O que é polinômio característico?
É um polinômio que nos dá informações sobre os autovalores de uma matriz. As raízes desse polinômio são exatamente os autovalores.
É um polinômio que nos dá informações sobre os autovalores de uma matriz. As raízes desse polinômio são exatamente os autovalores.
Multiplicidade algébrica e geométrica:
- Multiplicidade algébrica de um autovalor é quantas vezes ele aparece no polinômio característico.
- Multiplicidade geométrica é o número de autovetores linearmente independentes associados a esse autovalor.
Para uma matriz ser diagonalizável, a multiplicidade geométrica de cada autovalor deve ser igual à sua multiplicidade algébrica.
No caso da afirmação I:
- Autovalor 8 tem multiplicidade algébrica 11 e multiplicidade geométrica 11.
- Autovalor -8 tem multiplicidade algébrica 55. Mas a multiplicidade geométrica de -8 não está mencionada.
Como não sabemos a multiplicidade geométrica de -8, não podemos afirmar que
é diagonalizável. Portanto, a afirmação I não é necessariamente verdadeira.
Passo 3
Agora, vamos para a afirmação II:
“Se
é
, então
possui um autovetor
.”
Aqui, a gente está falando de uma matriz quadrada de tamanho
. A questão é: toda matriz quadrada de tamanho
tem pelo menos um autovetor real?
Teorema Fundamental da Álgebra:
Diz que todo polinômio de grau tem exatamente
raízes (contando multiplicidades) no conjunto dos números complexos. Isso garante que toda matriz quadrada tem
autovalores no conjunto dos complexos.
Diz que todo polinômio de grau
Mas e nos números reais?
Nem todo polinômio de grau impar tem raízes reais. Por exemplo, a matriz de rotação no plano 2D não tem autovalores reais. Portanto, nem toda matriz quadrada de tamanho tem um autovetor real.
Nem todo polinômio de grau impar tem raízes reais. Por exemplo, a matriz de rotação no plano 2D não tem autovalores reais. Portanto, nem toda matriz quadrada de tamanho
Então, a afirmação II não é necessariamente verdadeira.
Passo 4
Resumindo:
- Afirmação I: Não podemos confirmar que
é diagonalizável porque falta informação sobre a multiplicidade geométrica do autovalor -8. - Afirmação II: Nem toda matriz quadrada garante a existência de um autovetor real.
Portanto, nenhuma das afirmações é necessariamente verdadeira.
Resposta
© Todas são falsas.