Então, vamos lá! A gente tem duas afirmações sobre matrizes e autovalores. O conteúdo envolve polinômios característicos, multiplicidade geométrica e diagonalização de matrizes. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que significa uma matriz ser diagonalizável, o que são autovalores e autovetores, e como eles se relacionam com o polinômio característico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a afirmação I:
“Se possui como polinômio característico e autovalor 8 com multiplicidade geométrica 11, então é diagonalizável.”
O que é polinômio característico?
É um polinômio que nos dá informações sobre os autovalores de uma matriz. As raízes desse polinômio são exatamente os autovalores.
Multiplicidade algébrica e geométrica:
Multiplicidade algébrica de um autovalor é quantas vezes ele aparece no polinômio característico.
Multiplicidade geométrica é o número de autovetores linearmente independentes associados a esse autovalor.
Para uma matriz ser diagonalizável, a multiplicidade geométrica de cada autovalor deve ser igual à sua multiplicidade algébrica.
No caso da afirmação I:
Autovalor 8 tem multiplicidade algébrica 11 e multiplicidade geométrica 11.
Autovalor -8 tem multiplicidade algébrica 55. Mas a multiplicidade geométrica de -8 não está mencionada.
Como não sabemos a multiplicidade geométrica de -8, não podemos afirmar que é diagonalizável. Portanto, a afirmação I não é necessariamente verdadeira.
Passo 3
Agora, vamos para a afirmação II:
“Se é , então possui um autovetor .”
Aqui, a gente está falando de uma matriz quadrada de tamanho . A questão é: toda matriz quadrada de tamanho tem pelo menos um autovetor real?
Teorema Fundamental da Álgebra:
Diz que todo polinômio de grau tem exatamente raízes (contando multiplicidades) no conjunto dos números complexos. Isso garante que toda matriz quadrada tem autovalores no conjunto dos complexos.
Mas e nos números reais?
Nem todo polinômio de grau impar tem raízes reais. Por exemplo, a matriz de rotação no plano 2D não tem autovalores reais. Portanto, nem toda matriz quadrada de tamanho tem um autovetor real.
Então, a afirmação II não é necessariamente verdadeira.
Passo 4
Resumindo:
Afirmação I: Não podemos confirmar que é diagonalizável porque falta informação sobre a multiplicidade geométrica do autovalor -8.
Afirmação II: Nem toda matriz quadrada garante a existência de um autovetor real.
Portanto, nenhuma das afirmações é necessariamente verdadeira.