Vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma matriz que tem autovalores -6 e 8, associados aos vetores próprios e . Precisamos encontrar qual das opções nos dá a expressão correta da inversa de usando a matriz , que é formada pelos vetores próprios como colunas. Vamos usar conceitos de autovalores, autovetores e inversão de matrizes para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se e são vetores próprios de com autovalores e , então podemos escrever:
Isso significa que a matriz pode ser diagonalizada como:
onde é a matriz dos vetores próprios e é a matriz diagonal dos autovalores:
Passo 3
Agora, para encontrar a inversa de , usamos a propriedade das matrizes inversas:
Aqui, é simplesmente a matriz diagonal com os inversos dos autovalores:
Passo 4
Substituindo na equação de , temos:
Isso nos mostra que a inversa de é expressa exatamente dessa forma.