Seja
uma matriz
cujos autovalores são -6 e 8 associados, respectivamente, a
e
.
Defina
. A inversa de
pode ser expressa como:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G) Não sei
Defina
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G) Não sei
Passo 1
Vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma matriz
que tem autovalores -6 e 8, associados aos vetores próprios
e
. Precisamos encontrar qual das opções nos dá a expressão correta da inversa de
usando a matriz
, que é formada pelos vetores próprios como colunas. Vamos usar conceitos de autovalores, autovetores e inversão de matrizes para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se
e
são vetores próprios de
com autovalores
e
, então podemos escrever:
Isso significa que a matriz
pode ser diagonalizada como:
onde
é a matriz dos vetores próprios e
é a matriz diagonal dos autovalores:
Passo 3
Agora, para encontrar a inversa de
, usamos a propriedade das matrizes inversas:
Aqui,
é simplesmente a matriz diagonal com os inversos dos autovalores:
Passo 4
Substituindo
na equação de
, temos:
Isso nos mostra que a inversa de
é expressa exatamente dessa forma.
Resposta
A alternativa correta é a (B):