Seja uma matriz cujos autovalores são -6 e 8 associados, respectivamente, a e .
Defina . A inversa de pode ser expressa como:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G) Não sei

Passo 1

Vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma matriz que tem autovalores -6 e 8, associados aos vetores próprios e . Precisamos encontrar qual das opções nos dá a expressão correta da inversa de usando a matriz , que é formada pelos vetores próprios como colunas. Vamos usar conceitos de autovalores, autovetores e inversão de matrizes para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se e são vetores próprios de com autovalores e , então podemos escrever:
Isso significa que a matriz pode ser diagonalizada como:
onde é a matriz dos vetores próprios e é a matriz diagonal dos autovalores:

Passo 3

Agora, para encontrar a inversa de , usamos a propriedade das matrizes inversas:
Aqui, é simplesmente a matriz diagonal com os inversos dos autovalores:

Passo 4

Substituindo na equação de , temos:
Isso nos mostra que a inversa de é expressa exatamente dessa forma.

Resposta

A alternativa correta é a (B):

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Resolva o seguinte sistema com variáveis livres:
Calcule o polinômio característico da matriz abaixo:
Dica: explore a estrutura em blocos da matriz.
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
Um sistema de 5 variáveis é dado pela matriz aumentada:
Aplique o escalonamento à matriz e encontre a solução.
Mostre que três pontos e são colineares se, e somente se, suas coordenadas verificam a igualdade