Seja A uma matriz 2 times 2 cujos autovalores são -6 e 8 associados, respectivamente, a v1 e v2.
Defina M=[llv1 & v2]. A inversa de A pode ser expressa como:
(A) A^-1=M^-1[rr-16 & 0 0 & 18] M
(B) A^-1=M[rr-16 & 0 0 & 18] M^-1
© A^-1=M^-1[rr-6 & 0 0 & 8] M
(D) A^-1=M^-1[rr6 & 0 0 & -8] M
(E) A^-1=M[rr6 & 0 0 & -8] M^-1
(F) A^-1=M[rr-6 & 0 0 & 8] M^-1
(G) Não sei

Passo 1

Vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma matriz que tem autovalores -6 e 8, associados aos vetores próprios e . Precisamos encontrar qual das opções nos dá a expressão correta da inversa de usando a matriz , que é formada pelos vetores próprios como colunas. Vamos usar conceitos de autovalores, autovetores e inversão de matrizes para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se A v1 = lambda1 v1 e A v2 = lambda2 v2 e A = M Lambda M^-1 são vetores próprios de Lambda = lambda1 & 0 0 & lambda2 = -6 & 0 0 & 8 com autovalores e , então podemos escrever:
Isso significa que a matriz pode ser diagonalizada como:
onde é a matriz dos vetores próprios e é a matriz diagonal dos autovalores:

Passo 3

Agora, para encontrar a inversa de A^-1 = (M Lambda M^-1)^-1 = M (Lambda)^-1 M^-1 , usamos a propriedade das matrizes inversas:
Lambda^-1 = 1lambda1 & 0 0 & 1lambda2 = -16 & 0 0 & 18
Aqui, é simplesmente a matriz diagonal com os inversos dos autovalores:

Passo 4

Substituindo A^-1 = M -16 & 0 0 & 18 M^-1 na equação de , temos:
Isso nos mostra que a inversa de é expressa exatamente dessa forma.

Resposta

A alternativa correta é a (B):
A^-1 = M -16 & 0 0 & 18 M^-1

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