Resolva o seguinte sistema com variáveis livres:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações com variáveis livres! O que a gente tem aqui é um conjunto de três equações lineares com três incógnitas: , e . A gente vai usar um método chamado eliminação de variáveis para simplificar e encontrar as soluções. Vamos precisar manipular as equações para isolar algumas variáveis e ver como elas se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para as duas primeiras equações:
çãçã
Perceba que a Equação 2 é simplesmente duas vezes a Equação 1. Isso significa que elas são equações equivalentes, ou seja, não trazem novas informações. Então, basicamente, temos apenas duas equações independentes para três incógnitas, o que indica que teremos soluções com variáveis livres.

Passo 3

Vamos usar a Equação 1 e a terceira equação do sistema para continuar:
çãçã
Vamos resolver a Equação 3 para uma das variáveis, por exemplo, o :
Agora, substituímos essa expressão de na Equação 1 para encontrar em termos de :

Passo 4

Agora, temos e expressos em termos de :
Como o não está restrito a um valor específico, ele se torna nossa variável livre. Podemos chamar o de parâmetro, por exemplo, .

Passo 5

Substituindo por , temos as soluções em termos de :

Resposta

As soluções do sistema com variáveis livres são dadas por:

Exercícios relacionados

Calcule o polinômio característico da matriz abaixo:
Dica: explore a estrutura em blocos da matriz.
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se possui como polinômio característico e autovalor 8 com multiplicidade geométrica 11, então é diagonalizável.
II - Se é , então possui um autovetor .
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Todas são verdadeiras.
© Todas são falsas.
(D) Apenas I é verdadeira.
(E) Não sei
Seja uma matriz cujos autovalores são -6 e 8 associados, respectivamente, a e .
Defina . A inversa de pode ser expressa como:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G) Não sei
Um sistema de 5 variáveis é dado pela matriz aumentada:
Aplique o escalonamento à matriz e encontre a solução.