Resolva o seguinte sistema com variáveis livres:
l x+2 y+z=4 2 x+4 y+2 z=8 3 y+z=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações com variáveis livres! O que a gente tem aqui é um conjunto de três equações lineares com três incógnitas: , e . A gente vai usar um método chamado eliminação de variáveis para simplificar e encontrar as soluções. Vamos precisar manipular as equações para isolar algumas variáveis e ver como elas se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para as duas primeiras equações:
x + 2y + z = 4 (Equação 1) 2x + 4y + 2z = 8 (Equação 2) çãçã
Perceba que a Equação 2 é simplesmente duas vezes a Equação 1. Isso significa que elas são equações equivalentes, ou seja, não trazem novas informações. Então, basicamente, temos apenas duas equações independentes para três incógnitas, o que indica que teremos soluções com variáveis livres.

Passo 3

Vamos usar a Equação 1 e a terceira equação do sistema para continuar:
x + 2y + z = 4 (Equação 1) 3y + z = 1 (Equação 3) çãçã
Vamos resolver a Equação 3 para uma das variáveis, por exemplo, o 3y + z = 1 implies z = 1 - 3y :
x + 2y + (1 - 3y) = 4 x + 2y + 1 - 3y = 4 x - y + 1 = 4 x - y = 3 implies x = y + 3
Agora, substituímos essa expressão de na Equação 1 para encontrar em termos de :

Passo 4

Agora, temos x = y + 3 z = 1 - 3y e expressos em termos de :
Como o não está restrito a um valor específico, ele se torna nossa variável livre. Podemos chamar o de parâmetro, por exemplo, .

Passo 5

Substituindo x = t + 3 y = t z = 1 - 3t por , temos as soluções em termos de :

Resposta

As soluções do sistema com variáveis livres são dadas por:
boxed x = t + 3 y = t z = 1 - 3t onde t in R

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