Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o polinômio característico da matriz dada. O conteúdo principal aqui é álgebra linear, especificamente o cálculo de autovalores através do polinômio característico. Para resolver isso, vamos usar a estrutura em blocos da matriz, que facilita bastante o nosso trabalho.
Passo 2
Primeiro, dá uma olhada na matriz . Ela é uma matriz , mas perceba que ela tem uma estrutura especial: os elementos abaixo da sexta coluna são todos zeros a partir da sexta linha. Isso significa que a matriz pode ser dividida em dois blocos principais:
Bloco Superior Esquerdo (5x5): Contém as primeiras 5 linhas e 5 colunas.
Bloco Inferior Direito (3x3): Contém as últimas 3 linhas e últimas 3 colunas.
Essa divisão é super útil porque o polinômio característico de uma matriz blocada dessa forma é o produto dos polinômios característicos de cada bloco.
Passo 3
Vamos calcular o polinômio característico de cada bloco separadamente.
Esse bloco é uma matriz triangular superior (ou quase triangular), pois os elementos abaixo da diagonal principal são zeros. Nessa situação, o polinômio característico é simplesmente o produto de (2 - lambda)^3 (-3 - lambda)(-7 - lambda) . Então, os valores na diagonal são 2, 2, 2, -3, -7.
Portanto, o polinômio característico desse bloco é:
-3 & 1 & 0 -36 & 9 & 0 3 & 1 & 4
Bloco Inferior Direito (3x3)
Agora, olha esse bloco:
(-3 - lambda)^2 (4 - lambda)
Esse bloco também pode ser simplificado. Perceba que a última coluna tem zeros, então podemos calcular o determinante expandindo por essa coluna. Fazendo isso, encontramos os autovalores desse bloco, que são -3 com multiplicidade 2 e 4 com multiplicidade 1.
Então, o polinômio característico desse bloco é:
Passo 4
Agora, como a matriz pc^A(lambda) = (2 - lambda)^3 (-3 - lambda)(-7 - lambda) times (-3 - lambda)^2 (4 - lambda) é bloqueada de forma que os blocos não interagem (ou seja, não há termos mistos entre eles), o polinômio característico total de pc^A(lambda) = (2 - lambda)^3 (-3 - lambda)^3 (-7 - lambda)(4 - lambda) é o produto dos polinômios característicos de cada bloco.