Calcule o polinômio característico da matriz A abaixo:
A=[rrrrrrrr 2 & 0 & 0 & -7 & 7 & 4 & 5 & -4 4 & 2 & 1 & -3 & 1 & 7 & 2 & 4 5 & 0 & 2 & -2 & -2 & 7 & 1 & 5 0 & 0 & 0 & -3 & 1 & -7 & -7 & -5 0 & 0 & 0 & -4 & -7 & -5 & -2 & 6 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -3 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -36 & 9 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 1 & 4 ]
Dica: explore a estrutura em blocos da matriz.
(A) pc^A(lambda)=(-4-lambda)^3(-3-lambda)^2(5-lambda)^2(-2-lambda)
(B) pc^A(lambda)=(-4-lambda)^3(-3-lambda)^3(5-lambda)^2
© pc^A(lambda)=(2-lambda)^3(-5-lambda)^3(3-lambda)(4-lambda)
(D) pc^A(lambda)=(2-lambda)^3(-5-lambda)^2(3-lambda)^2(4-lambda)
(E) pc^A(lambda)=(2-lambda)^3(-5-lambda)^3(3-lambda)^2
(F) pc^A(lambda)=(-4-lambda)^2(-3-lambda)^2(5-lambda)^2(-2-lambda)^2
(G) pc^A(lambda)=(-4-lambda)^3(-3-lambda)^3(5-lambda)(-2-lambda)
(H) pc^A(lambda)=(2-lambda)^2(-5-lambda)^2(3-lambda)^2(4-lambda)^2
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o polinômio característico da matriz dada. O conteúdo principal aqui é álgebra linear, especificamente o cálculo de autovalores através do polinômio característico. Para resolver isso, vamos usar a estrutura em blocos da matriz, que facilita bastante o nosso trabalho.

Passo 2

Primeiro, dá uma olhada na matriz . Ela é uma matriz , mas perceba que ela tem uma estrutura especial: os elementos abaixo da sexta coluna são todos zeros a partir da sexta linha. Isso significa que a matriz pode ser dividida em dois blocos principais:
  1. Bloco Superior Esquerdo (5x5): Contém as primeiras 5 linhas e 5 colunas.
  2. Bloco Inferior Direito (3x3): Contém as últimas 3 linhas e últimas 3 colunas.
Essa divisão é super útil porque o polinômio característico de uma matriz blocada dessa forma é o produto dos polinômios característicos de cada bloco.

Passo 3

Vamos calcular o polinômio característico de cada bloco separadamente.

Bloco Superior Esquerdo (5x5)

Olha esse bloco:
2 & 0 & 0 & -7 & 7 4 & 2 & 1 & -3 & 1 5 & 0 & 2 & -2 & -2 0 & 0 & 0 & -3 & 1 0 & 0 & 0 & -4 & -7
Esse bloco é uma matriz triangular superior (ou quase triangular), pois os elementos abaixo da diagonal principal são zeros. Nessa situação, o polinômio característico é simplesmente o produto de (2 - lambda)^3 (-3 - lambda)(-7 - lambda) . Então, os valores na diagonal são 2, 2, 2, -3, -7.
Portanto, o polinômio característico desse bloco é:
-3 & 1 & 0 -36 & 9 & 0 3 & 1 & 4

Bloco Inferior Direito (3x3)

Agora, olha esse bloco:
(-3 - lambda)^2 (4 - lambda)
Esse bloco também pode ser simplificado. Perceba que a última coluna tem zeros, então podemos calcular o determinante expandindo por essa coluna. Fazendo isso, encontramos os autovalores desse bloco, que são -3 com multiplicidade 2 e 4 com multiplicidade 1.
Então, o polinômio característico desse bloco é:

Passo 4

Agora, como a matriz pc^A(lambda) = (2 - lambda)^3 (-3 - lambda)(-7 - lambda) times (-3 - lambda)^2 (4 - lambda) é bloqueada de forma que os blocos não interagem (ou seja, não há termos mistos entre eles), o polinômio característico total de pc^A(lambda) = (2 - lambda)^3 (-3 - lambda)^3 (-7 - lambda)(4 - lambda) é o produto dos polinômios característicos de cada bloco.
Simplificando os termos semelhantes:

Resposta

A resposta correta é a opção (G):
pc^A(lambda) = (-4 - lambda)^3(-3 - lambda)^3(5 - lambda)(-2 - lambda)

Exercícios relacionados

Seja A uma matriz simétrica 5 times 5 e f(v)=v^T A v a forma quadrática associada. Se o espectro de A é 7,1,2, podemos afirmar que:
(A) f(v)>0 para todo v neq 0.
(B) f(v) <= 0 para todo v e existe w neq 0 com f(w)=0.
© f(v) >= 0 para todo v e existe w neq 0 com f(w)=0.
(D) existem v e w tais que f(v)<0.
(E) f(v)<0 para todo v neq 0.
(F) Não sei
A matriz R abaixo representa uma rotação em torno de um eixo passando pela origem, em R^3 :
R=145[rrr -19 & 40 & -8 -8 & 5 & 44 40 & 20 & 5 ]
Qual é o cosseno do ângulo de rotação?
Dica: Determine eixo de rotação, uma direção ortogonal ao eixo e determine o ângulo que este vetor é rodado.
(A) -34
(B) 35
© -12
(D) 45
(E) -35
(F) -45
(G) 34
(H) 12
(I) Não sei
Seja A uma matriz 2 times 2 cujos autovalores são 9 e -8 associados, respectivamente, a v1 e v2.
Defina M=[llv1 & v2]. A inversa de A pode ser expressa como:
(A) A^-1=M[rr19 & 0 0 & -18] M^-1
(B) A^-1=M[rr9 & 0 0 & -8] M^-1
© A^-1=M[rr-9 & 0 0 & 8] M^-1
(D) A^-1=M^-1[rr19 & 0 0 & -18] M
(E) A^-1=M^-1[rr-9 & 0 0 & 8] M
(F) A^-1=M^-1[rr9 & 0 0 & -8] M
(G) Não sei
Considere o sistema
S: x^2+y^2 & =34 -x^2+y^2 & =16
O sistema S não é linear! Mas, utilizando uma mudança de variáveis, podemos resolver o sistema não linear S utilizando soluções de um sistema linear. Para tanto, faça a mudança de variáveis u=x^2 e v=y^2 e resolva o sistema linear correspondente. A seguir, encontre as soluções do sistema não linear S