Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz simétrica de dimensão e uma forma quadrática . O enunciado também nos dá o espectro de , que são os valores próprios . Nosso objetivo é descobrir qual das alternativas (A) a (E) é verdadeira com base nessas informações. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes simétricas, formas quadráticas e como os valores próprios influenciam o comportamento da forma quadrática.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma matriz simétrica tem algumas propriedades bem legais, como todos os seus valores próprios serem reais e possuir uma base de vetores próprios ortogonais. Além disso, a forma quadrática nos dá uma maneira de associar um número a cada vetor baseado na matriz .
Passo 3
Agora, o espectro de é a lista de seus valores próprios. No caso, temos . Como é uma matriz , esses valores próprios devem considerar multiplicidades. Mas o importante aqui é saber que todos os valores próprios são positivos.
Passo 4
Por que isso é importante? Porque o sinal dos valores próprios determina o comportamento da forma quadrática:
Se todos os valores próprios forem positivos, a forma quadrática é definida positiva.
Se todos forem não-negativos (pelo menos zero), é semidefinida positiva.
Se tiverem sinais mistos, a forma é indefinida.
Passo 5
No nosso caso, como todos os valores próprios são positivos (), isso significa que para qualquer vetor , a forma quadrática será sempre maior que zero. Ou seja, para todo .