Seja A uma matriz simétrica 5 times 5 e f(v)=v^T A v a forma quadrática associada. Se o espectro de A é 7,1,2, podemos afirmar que:
(A) f(v)>0 para todo v neq 0.
(B) f(v) <= 0 para todo v e existe w neq 0 com f(w)=0.
© f(v) >= 0 para todo v e existe w neq 0 com f(w)=0.
(D) existem v e w tais que f(v)<0.
(E) f(v)<0 para todo v neq 0.
(F) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz simétrica A de dimensão 5 times 5 e uma forma quadrática f(v) = v^T A v. O enunciado também nos dá o espectro de A, que são os valores próprios 7, 1, 2. Nosso objetivo é descobrir qual das alternativas (A) a (E) é verdadeira com base nessas informações. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes simétricas, formas quadráticas e como os valores próprios influenciam o comportamento da forma quadrática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz simétrica tem algumas propriedades bem legais, como todos os seus valores próprios serem reais e possuir uma base de vetores próprios ortogonais. Além disso, a forma quadrática f(v) = v^T A v nos dá uma maneira de associar um número a cada vetor v baseado na matriz A.

Passo 3

Agora, o espectro de A é a lista de seus valores próprios. No caso, temos 7, 1, 2. Como A é uma matriz 5 times 5, esses valores próprios devem considerar multiplicidades. Mas o importante aqui é saber que todos os valores próprios são positivos.

Passo 4

Por que isso é importante? Porque o sinal dos valores próprios determina o comportamento da forma quadrática:
  • Se todos os valores próprios forem positivos, a forma quadrática é definida positiva.
  • Se todos forem não-negativos (pelo menos zero), é semidefinida positiva.
  • Se tiverem sinais mistos, a forma é indefinida.

Passo 5

No nosso caso, como todos os valores próprios são positivos ( 7, 1, 2), isso significa que para qualquer vetor v neq 0, a forma quadrática f(v) será sempre maior que zero. Ou seja, f(v) > 0 para todo v neq 0.

Resposta

A alternativa correta é a (A) f(v) > 0 para todo v neq 0.

Exercícios relacionados

A matriz R abaixo representa uma rotação em torno de um eixo passando pela origem, em R^3 :
R=145[rrr -19 & 40 & -8 -8 & 5 & 44 40 & 20 & 5 ]
Qual é o cosseno do ângulo de rotação?
Dica: Determine eixo de rotação, uma direção ortogonal ao eixo e determine o ângulo que este vetor é rodado.
(A) -34
(B) 35
© -12
(D) 45
(E) -35
(F) -45
(G) 34
(H) 12
(I) Não sei
Relembrando, um sistema linear S: A cdot X=B é chamado de homogêneo se a matriz B é uma matriz nula. Neste caso, podemos concluir que o sistema S possui, pelo menos, a n-upla (0,0, ldots, 0) como solução.
Resolva os seguintes sistemas homogêneos:
Calcule o polinômio característico da matriz A abaixo:
A=[rrrrrrrr 2 & 0 & 0 & -7 & 7 & 4 & 5 & -4 4 & 2 & 1 & -3 & 1 & 7 & 2 & 4 5 & 0 & 2 & -2 & -2 & 7 & 1 & 5 0 & 0 & 0 & -3 & 1 & -7 & -7 & -5 0 & 0 & 0 & -4 & -7 & -5 & -2 & 6 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -3 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -36 & 9 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 1 & 4 ]
Dica: explore a estrutura em blocos da matriz.
(A) pc^A(lambda)=(-4-lambda)^3(-3-lambda)^2(5-lambda)^2(-2-lambda)
(B) pc^A(lambda)=(-4-lambda)^3(-3-lambda)^3(5-lambda)^2
© pc^A(lambda)=(2-lambda)^3(-5-lambda)^3(3-lambda)(4-lambda)
(D) pc^A(lambda)=(2-lambda)^3(-5-lambda)^2(3-lambda)^2(4-lambda)
(E) pc^A(lambda)=(2-lambda)^3(-5-lambda)^3(3-lambda)^2
(F) pc^A(lambda)=(-4-lambda)^2(-3-lambda)^2(5-lambda)^2(-2-lambda)^2
(G) pc^A(lambda)=(-4-lambda)^3(-3-lambda)^3(5-lambda)(-2-lambda)
(H) pc^A(lambda)=(2-lambda)^2(-5-lambda)^2(3-lambda)^2(4-lambda)^2
(I) Não sei
Seja A uma matriz 2 times 2 cujos autovalores são 9 e -8 associados, respectivamente, a v1 e v2.
Defina M=[llv1 & v2]. A inversa de A pode ser expressa como:
(A) A^-1=M[rr19 & 0 0 & -18] M^-1
(B) A^-1=M[rr9 & 0 0 & -8] M^-1
© A^-1=M[rr-9 & 0 0 & 8] M^-1
(D) A^-1=M^-1[rr19 & 0 0 & -18] M
(E) A^-1=M^-1[rr-9 & 0 0 & 8] M
(F) A^-1=M^-1[rr9 & 0 0 & -8] M
(G) Não sei