Seja A uma matriz 2 times 2 cujos autovalores são 9 e -8 associados, respectivamente, a v1 e v2.
Defina M=[llv1 & v2]. A inversa de A pode ser expressa como:
(A) A^-1=M[rr19 & 0 0 & -18] M^-1
(B) A^-1=M[rr9 & 0 0 & -8] M^-1
© A^-1=M[rr-9 & 0 0 & 8] M^-1
(D) A^-1=M^-1[rr19 & 0 0 & -18] M
(E) A^-1=M^-1[rr-9 & 0 0 & 8] M
(F) A^-1=M^-1[rr9 & 0 0 & -8] M
(G) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma matriz de dimensão que tem dois autovalores, 9 e -8, associados aos vetores próprios e respectivamente. A gente precisa encontrar a inversa de usando esses vetores próprios. Para isso, vamos usar conceitos de autovalores, autovetores e diagonalização de matrizes.

Passo 2

Primeiro, lembrar que se uma matriz D = 9 & 0 0 & -8 é diagonalizável, ela pode ser escrita como , onde:
  • é a matriz cujas colunas são os autovetores de (no caso, e ),
  • é uma matriz diagonal com os autovalores de na diagonal,
  • é a inversa de .
Aqui, seria:

Passo 3

Para achar a inversa de A^-1 = (M D M^-1)^-1 = M D^-1 M^-1 , ou seja, , vamos usar a propriedade de que:
Isso porque a inversa de um produto de matrizes é o produto das inversas na ordem reversa, e a inversa de uma matriz diagonal é a matriz com os inversos dos elementos da diagonal.

Passo 4

Agora, calculando D^-1 = 19 & 0 0 & -18 :
Note que o inverso de 9 é e o inverso de -8 é .

Passo 5

Então, substituindo de volta na expressão da inversa:
A^-1 = M 19 & 0 0 & -18 M^-1
Isso nos mostra exatamente como a inversa de é construída a partir dos autovalores e dos vetores próprios.

Resposta

A resposta correta é a alternativa (A):
A^-1=M 19 & 0 0 & -18 M^-1

Exercícios relacionados

Calcule o polinômio característico da matriz A abaixo:
A=[rrrrrrrr 2 & 0 & 0 & -7 & 7 & 4 & 5 & -4 4 & 2 & 1 & -3 & 1 & 7 & 2 & 4 5 & 0 & 2 & -2 & -2 & 7 & 1 & 5 0 & 0 & 0 & -3 & 1 & -7 & -7 & -5 0 & 0 & 0 & -4 & -7 & -5 & -2 & 6 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -3 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -36 & 9 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 1 & 4 ]
Dica: explore a estrutura em blocos da matriz.
(A) pc^A(lambda)=(-4-lambda)^3(-3-lambda)^2(5-lambda)^2(-2-lambda)
(B) pc^A(lambda)=(-4-lambda)^3(-3-lambda)^3(5-lambda)^2
© pc^A(lambda)=(2-lambda)^3(-5-lambda)^3(3-lambda)(4-lambda)
(D) pc^A(lambda)=(2-lambda)^3(-5-lambda)^2(3-lambda)^2(4-lambda)
(E) pc^A(lambda)=(2-lambda)^3(-5-lambda)^3(3-lambda)^2
(F) pc^A(lambda)=(-4-lambda)^2(-3-lambda)^2(5-lambda)^2(-2-lambda)^2
(G) pc^A(lambda)=(-4-lambda)^3(-3-lambda)^3(5-lambda)(-2-lambda)
(H) pc^A(lambda)=(2-lambda)^2(-5-lambda)^2(3-lambda)^2(4-lambda)^2
(I) Não sei
Seja A uma matriz simétrica 5 times 5 e f(v)=v^T A v a forma quadrática associada. Se o espectro de A é 7,1,2, podemos afirmar que:
(A) f(v)>0 para todo v neq 0.
(B) f(v) <= 0 para todo v e existe w neq 0 com f(w)=0.
© f(v) >= 0 para todo v e existe w neq 0 com f(w)=0.
(D) existem v e w tais que f(v)<0.
(E) f(v)<0 para todo v neq 0.
(F) Não sei
Considere o sistema
S: x^2+y^2 & =34 -x^2+y^2 & =16
O sistema S não é linear! Mas, utilizando uma mudança de variáveis, podemos resolver o sistema não linear S utilizando soluções de um sistema linear. Para tanto, faça a mudança de variáveis u=x^2 e v=y^2 e resolva o sistema linear correspondente. A seguir, encontre as soluções do sistema não linear S
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se M possui uma base ortogonal de autovetores, então M é simétrica.
II - Se C possui inversa, então C possui uma base de autovetores.
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Todas são verdadeiras.
© Todas são falsas.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Não sei