Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma matriz de dimensão que tem dois autovalores, 9 e -8, associados aos vetores próprios e respectivamente. A gente precisa encontrar a inversa de usando esses vetores próprios. Para isso, vamos usar conceitos de autovalores, autovetores e diagonalização de matrizes.
Passo 2
Primeiro, lembrar que se uma matriz é diagonalizável, ela pode ser escrita como , onde:
é a matriz cujas colunas são os autovetores de (no caso, e ),
é uma matriz diagonal com os autovalores de na diagonal,
é a inversa de .
Aqui, seria:
Passo 3
Para achar a inversa de , ou seja, , vamos usar a propriedade de que:
Isso porque a inversa de um produto de matrizes é o produto das inversas na ordem reversa, e a inversa de uma matriz diagonal é a matriz com os inversos dos elementos da diagonal.
Passo 4
Agora, calculando :
Note que o inverso de 9 é e o inverso de -8 é .
Passo 5
Então, substituindo de volta na expressão da inversa:
Isso nos mostra exatamente como a inversa de é construída a partir dos autovalores e dos vetores próprios.