Considere o sistema
S: x^2+y^2 & =34 -x^2+y^2 & =16
O sistema S não é linear! Mas, utilizando uma mudança de variáveis, podemos resolver o sistema não linear S utilizando soluções de um sistema linear. Para tanto, faça a mudança de variáveis u=x^2 e v=y^2 e resolva o sistema linear correspondente. A seguir, encontre as soluções do sistema não linear S

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. O exercício apresenta um sistema de equações não linear:
S: x^2+y^2 & =34 -x^2+y^2 & =16
O conteúdo que vamos usar aqui envolve sistemas de equações e mudanças de variáveis para transformar um sistema não linear em linear. Para resolver, a gente vai precisar fazer uma substituição simples: definir e . Assim, transformamos o sistema original em um sistema linear, que é mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a mudança de variáveis que a gente discutiu. Definimos:
u = x^2 v = y^2
Agora, substituímos u + v & = 34 - u + v & = 16 por e por nas equações do sistema . Assim, nosso sistema fica:

Passo 3

Agora, temos um sistema linear em termos de u + v & = 34 (1) - u + v & = 16 (2) e :
Vamos resolver esse sistema. Uma maneira fácil é somar as duas equações para eliminar .

Passo 4

Somando as equa�es (1) e (2):
(u + v) + (-u + v) = 34 + 16 u - u + v + v = 50 0 + 2v = 50 2v = 50
Dividindo ambos os lados por 2:
v = 25

Passo 5

Agora que encontramos u + v = 34 u + 25 = 34 u = 34 - 25 u = 9 , vamos substituir esse valor em uma das equações originais para encontrar . Vamos usar a equação (1):

Passo 6

Então, encontramos que:
u = 9 v = 25
Lembrando que e , vamos agora voltar para as variáveis originais.

Passo 7

Substituindo x^2 = 9 y^2 = 25 e x = pmraiz9 = pm3 y = pmraiz25 = pm5 :
Para encontrar e , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

As soluções do sistema não linear (x, y) = (3, 5), (3, -5), (-3, 5), (-3, -5) são:

Exercícios relacionados

Seja A uma matriz 2 times 2 cujos autovalores são 9 e -8 associados, respectivamente, a v1 e v2.
Defina M=[llv1 & v2]. A inversa de A pode ser expressa como:
(A) A^-1=M[rr19 & 0 0 & -18] M^-1
(B) A^-1=M[rr9 & 0 0 & -8] M^-1
© A^-1=M[rr-9 & 0 0 & 8] M^-1
(D) A^-1=M^-1[rr19 & 0 0 & -18] M
(E) A^-1=M^-1[rr-9 & 0 0 & 8] M
(F) A^-1=M^-1[rr9 & 0 0 & -8] M
(G) Não sei
Calcule o polinômio característico da matriz A abaixo:
A=[rrrrrrrr 2 & 0 & 0 & -7 & 7 & 4 & 5 & -4 4 & 2 & 1 & -3 & 1 & 7 & 2 & 4 5 & 0 & 2 & -2 & -2 & 7 & 1 & 5 0 & 0 & 0 & -3 & 1 & -7 & -7 & -5 0 & 0 & 0 & -4 & -7 & -5 & -2 & 6 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -3 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -36 & 9 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 1 & 4 ]
Dica: explore a estrutura em blocos da matriz.
(A) pc^A(lambda)=(-4-lambda)^3(-3-lambda)^2(5-lambda)^2(-2-lambda)
(B) pc^A(lambda)=(-4-lambda)^3(-3-lambda)^3(5-lambda)^2
© pc^A(lambda)=(2-lambda)^3(-5-lambda)^3(3-lambda)(4-lambda)
(D) pc^A(lambda)=(2-lambda)^3(-5-lambda)^2(3-lambda)^2(4-lambda)
(E) pc^A(lambda)=(2-lambda)^3(-5-lambda)^3(3-lambda)^2
(F) pc^A(lambda)=(-4-lambda)^2(-3-lambda)^2(5-lambda)^2(-2-lambda)^2
(G) pc^A(lambda)=(-4-lambda)^3(-3-lambda)^3(5-lambda)(-2-lambda)
(H) pc^A(lambda)=(2-lambda)^2(-5-lambda)^2(3-lambda)^2(4-lambda)^2
(I) Não sei
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se M possui uma base ortogonal de autovetores, então M é simétrica.
II - Se C possui inversa, então C possui uma base de autovetores.
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Todas são verdadeiras.
© Todas são falsas.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Não sei
Considere o sistema linear abaixo.
S:r m x+2 y=6 3 x-y=-2, x+y=0
com m in R.
Encontre o valor de m para que o sistema S possua solução única. Existe valor de m de forma que o sistema S possua infinitas soluções? E para que não possua solução?