Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz de 8 por 8 e precisamos calcular o polinômio característico dela. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente no estudo de autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos usar a dica que é explorar a estrutura em blocos da matriz, o que pode facilitar bastante nosso trabalho.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio característico. Ele é definido como , onde é a matriz identidade e representa os autovalores. Calcular o determinante diretamente de uma matriz 8x8 é bem complicado, então a dica é chave aqui!
Passo 3
Observando a matriz , a gente percebe que ela tem uma estrutura em blocos. Isso significa que podemos dividir a matriz em partes menores que são mais fáceis de trabalhar. Muitas das entradas são zeros, especialmente nas últimas linhas, o que sugere que podemos decompor em blocos diagonais.
Passo 4
Vamos identificar esses blocos diagonais. Olhando a matriz , vemos que os elementos abaixo da quarta coluna são principalmente zeros. Isso indica que podemos separar em blocos menores onde cada bloco diagonal poderá ser tratado separadamente para facilitar o cálculo do determinante.
Passo 5
Uma vez identificado os blocos diagonais, sabemos que o determinante de uma matriz em blocos é igual ao produto dos determinantes de cada bloco diagonal. Assim, o polinômio característico de será o produto dos polinômios característicos de cada um desses blocos.
Passo 6
Agora, vamos calcular os polinômios característicos de cada bloco. Cada bloco menor terá seu próprio conjunto de autovalores, e multiplicando esses polinômios, a gente chega ao polinômio característico total da matriz .
Passo 7
Após realizar os cálculos dos determinantes dos blocos e multiplicá-los, chegamos à expressão do polinômio característico da matriz . Comparando com as alternativas fornecidas, identificamos qual delas corresponde à nossa solução.