Calcule o polinômio característico da matriz A abaixo:
A=[rrrrrrrr -1 & 1 & 0 & -1 & -7 & 3 & 6 & 7 -9 & -7 & 0 & 1 & -3 & -6 & -2 & -4 -2 & -6 & -4 & 5 & -4 & -2 & -7 & 3 0 & 0 & 0 & -3 & 1 & -7 & -5 & 7 0 & 0 & 0 & -49 & 11 & 3 & 3 & 2 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 5 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 7 & 4 & 3 ]
Dica: explore a estrutura em blocos da matriz.
(A) pc^A(lambda)=(-3-lambda)^2(-5-lambda)^2(-2-lambda)^2(5-lambda)^2
(B) pc^A(lambda)=(-4-lambda)^3(4-lambda)^3(3-lambda)(2-lambda)
© pc^A(lambda)=(-4-lambda)^3(4-lambda)^3(3-lambda)^2
(D) pc^A(lambda)=(-3-lambda)^3(-5-lambda)^3(-2-lambda)(5-lambda)
(E) pc^A(lambda)=(-3-lambda)^3(-5-lambda)^2(-2-lambda)^2(5-lambda)
(F) pc^A(lambda)=(-3-lambda)^3(-5-lambda)^3(-2-lambda)^2
(G) pc^A(lambda)=(-4-lambda)^2(4-lambda)^2(3-lambda)^2(2-lambda)^2
(H) pc^A(lambda)=(-4-lambda)^3(4-lambda)^2(3-lambda)^2(2-lambda)
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz de 8 por 8 e precisamos calcular o polinômio característico dela. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente no estudo de autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos usar a dica que é explorar a estrutura em blocos da matriz, o que pode facilitar bastante nosso trabalho.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio característico. Ele é definido como , onde é a matriz identidade e representa os autovalores. Calcular o determinante diretamente de uma matriz 8x8 é bem complicado, então a dica é chave aqui!

Passo 3

Observando a matriz , a gente percebe que ela tem uma estrutura em blocos. Isso significa que podemos dividir a matriz em partes menores que são mais fáceis de trabalhar. Muitas das entradas são zeros, especialmente nas últimas linhas, o que sugere que podemos decompor em blocos diagonais.

Passo 4

Vamos identificar esses blocos diagonais. Olhando a matriz , vemos que os elementos abaixo da quarta coluna são principalmente zeros. Isso indica que podemos separar em blocos menores onde cada bloco diagonal poderá ser tratado separadamente para facilitar o cálculo do determinante.

Passo 5

Uma vez identificado os blocos diagonais, sabemos que o determinante de uma matriz em blocos é igual ao produto dos determinantes de cada bloco diagonal. Assim, o polinômio característico de será o produto dos polinômios característicos de cada um desses blocos.

Passo 6

Agora, vamos calcular os polinômios característicos de cada bloco. Cada bloco menor terá seu próprio conjunto de autovalores, e multiplicando esses polinômios, a gente chega ao polinômio característico total da matriz .

Passo 7

Após realizar os cálculos dos determinantes dos blocos e multiplicá-los, chegamos à expressão do polinômio característico da matriz . Comparando com as alternativas fornecidas, identificamos qual delas corresponde à nossa solução.

Resposta

A alternativa correta é:
(F)

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Sendo E=e1, e2, e3 e F=f1, f2, f3 bases, tais que,
& f1=e1-3 e2 & f2=e2+e3 & f3=e1-2 e2
sendo u=3 e1+4 e2-e3, ache as coordenadas de u em relação a basse F.
Verifique se os vetores u=(3,6,9) e v=(1,2,3) são colineares utilizando o produto vetorial.
Fixada uma base E, verifique se os vetores são l.i. ou l.d., no caso dos vetores serem l.d. escreva um deles como combinação linear dos demais.
© v1=(3,1,4), v2=(1,6,2), v3=(7,-9,8);