Verifique se os vetores u=(3,6,9) e v=(1,2,3) são colineares utilizando o produto vetorial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para verificar se os vetores u = (3,6,9) e v = (1,2,3) são colineares usando o produto vetorial. Isso envolve entender o que significa vetor colinear e como calcular o produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que dois vetores são colineares se eles estão na mesma direção ou em direções opostas. Uma maneira de verificar isso é calculando o produto vetorial deles. O produto vetorial de dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular a ambos. Se o produto vetorial for o vetor nulo, isso indica que os vetores são colineares.

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial u times v. A fórmula para o produto vetorial de u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3) é:
u times v = ( u2 v3 - u3 v2, u3 v1 - u1 v3, u1 v2 - u2 v1 )
Substituindo os valores de u e v:
u times v = ( 6 cdot 3 - 9 cdot 2, 9 cdot 1 - 3 cdot 3, 3 cdot 2 - 6 cdot 1 )
Calculando cada componente:
u times v = ( 18 - 18, 9 - 9, 6 - 6 ) = (0, 0, 0)

Passo 4

O resultado do produto vetorial foi o vetor nulo (0, 0, 0). Isso confirma que os vetores u e v são colineares, já que o produto vetorial sendo zero indica que eles estão na mesma direção ou em direções opostas.

Resposta

Os vetores u = (3,6,9) e v = (1,2,3) são colineares.

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