Sendo E=e1, e2, e3 e F=f1, f2, f3 bases, tais que,
& f1=e1-3 e2 & f2=e2+e3 & f3=e1-2 e2
sendo u=3 e1+4 e2-e3, ache as coordenadas de u em relação a basse F.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas bases, e , e uma combinação linear do vetor . A matéria aqui é sobre mudança de base em álgebra linear. Vamos precisar usar sistemas de equações lineares para encontrar as coordenadas de na base .

Passo 2

Primeiro, vamos expressar os vetores da base f1 &= e1 - 3e2 f2 &= e2 + e3 f3 &= e1 - 2e2 em termos da base :

Passo 3

Queremos encontrar as coordenadas de u = af1 + bf2 + cf3 na base 3e1 + 4e2 - e3 = a(e1 - 3e2) + b(e2 + e3) + c(e1 - 2e2) , ou seja, encontrar números tais que:
Substituindo os valores de :

Passo 4

Agora, vamos distribuir os coeficientes 3e1 + 4e2 - e3 = ae1 - 3ae2 + be2 + be3 + ce1 - 2ce2 :

Passo 5

Vamos agrupar os termos semelhantes:
3e1 + 4e2 - e3 = (a + c)e1 + (-3a + b - 2c)e2 + be3

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos vetores correspondentes:
a + c = 3 -3a + b - 2c = 4 b = -1

Passo 7

Sabemos que -3a - 1 - 2c = 4 -3a - 2c = 5 . Vamos substituir esse valor na segunda equação:

Passo 8

Agora, temos duas equações com duas incógnitas:
a + c = 3 -3a - 2c = 5
Podemos resolver esse sistema. Vamos multiplicar a primeira equação por 3:
3a + 3c = 9

Passo 9

Agora, somamos essa equação com a segunda equação do sistema:
3a + 3c + (-3a - 2c) = 9 + 5 (3a - 3a) + (3c - 2c) = 14 c = 14

Passo 10

Com a + 14 = 3 a = 3 - 14 a = -11 , substituímos na primeira equação:

Passo 11

Agora, temos todos os valores:
a = -11, b = -1, c = 14

Resposta

As coordenadas de na base são .

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