Fixada uma base E, verifique se os vetores são l.i. ou l.d., no caso dos vetores serem l.d. escreva um deles como combinação linear dos demais.
© v1=(3,1,4), v2=(1,6,2), v3=(7,-9,8);

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um exercício de Álgebra Linear hoje. A questão pede para a gente verificar se três vetores são linearmente independentes (l.i.) ou linearmente dependentes (l.d.). Se eles forem dependentes, precisamos escrever um dos vetores como uma combinação linear dos outros dois. Para isso, vamos precisar entender o que significa ser linearmente independente e como encontrar combinações lineares usando sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que os vetores são linearmente independentes. Três vetores são l.i. se a única solução para a combinação ser a trivial, ou seja, . Se houver outra solução, eles são linearmente dependentes.

Passo 3

Vamos montar o sistema de equações baseado na combinação linear:
a(3,1,4) + b(1,6,2) + c(7,-9,8) = (0,0,0)
Isso nos dá três equações:
3a + b + 7c = 0 a + 6b - 9c = 0 4a + 2b + 8c = 0

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema para ver se existe alguma solução diferente da trivial. Podemos usar o método de substituição ou eliminação. Vou usar a eliminação aqui.
Primeiro, da primeira equação:
3a + b + 7c = 0 (1)
Da segunda:
a + 6b - 9c = 0 (2)
Da terceira:
4a + 2b + 8c = 0 (3)

Passo 5

Vamos multiplicar a equação (2) por 3 para facilitar a eliminação com a equação (1):
3(a + 6b - 9c) = 3 times 0 3a + 18b - 27c = 0 (2a)
Agora, subtraímos a equação (1) da equação (2a):
(3a + 18b - 27c) - (3a + b + 7c) = 0 - 0 17b - 34c = 0 17b = 34c b = 2c

Passo 6

Agora que encontramos que a + 6(2c) - 9c = 0 a + 12c - 9c = 0 a + 3c = 0 a = -3c , vamos substituir esse valor na equação (2):

Passo 7

Com 4(-3c) + 2(2c) + 8c = 0 -12c + 4c + 8c = 0 0 = 0 e , vamos substituir na equação (3):
Isso confirma que existe uma infinidade de soluções, ou seja, os vetores são linearmente dependentes.

Passo 8

Agora, vamos escrever um dos vetores como combinação linear dos outros dois. Vamos escolher v3 = av1 + bv2 . Sabemos que:
v3 = -3v1 + 2v2
Com e :

Resposta

Os vetores são linearmente dependentes. Podemos escrever v3 = -3v1 + 2v2 como uma combinação linear dos outros dois vetores:

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A=[rrrrrrrr -1 & 1 & 0 & -1 & -7 & 3 & 6 & 7 -9 & -7 & 0 & 1 & -3 & -6 & -2 & -4 -2 & -6 & -4 & 5 & -4 & -2 & -7 & 3 0 & 0 & 0 & -3 & 1 & -7 & -5 & 7 0 & 0 & 0 & -49 & 11 & 3 & 3 & 2 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 5 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 7 & 4 & 3 ]
Dica: explore a estrutura em blocos da matriz.
(A) pc^A(lambda)=(-3-lambda)^2(-5-lambda)^2(-2-lambda)^2(5-lambda)^2
(B) pc^A(lambda)=(-4-lambda)^3(4-lambda)^3(3-lambda)(2-lambda)
© pc^A(lambda)=(-4-lambda)^3(4-lambda)^3(3-lambda)^2
(D) pc^A(lambda)=(-3-lambda)^3(-5-lambda)^3(-2-lambda)(5-lambda)
(E) pc^A(lambda)=(-3-lambda)^3(-5-lambda)^2(-2-lambda)^2(5-lambda)
(F) pc^A(lambda)=(-3-lambda)^3(-5-lambda)^3(-2-lambda)^2
(G) pc^A(lambda)=(-4-lambda)^2(4-lambda)^2(3-lambda)^2(2-lambda)^2
(H) pc^A(lambda)=(-4-lambda)^3(4-lambda)^2(3-lambda)^2(2-lambda)
(I) Não sei
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(A) A^-1=M[rr-9 & 0 0 & 5] M^-1
(B) A^-1=M^-1[rr-9 & 0 0 & 5] M
© A^-1=M[rr-19 & 0 0 & 15] M^-1
(D) A^-1=M[rr9 & 0 0 & -5] M^-1
(E) A^-1=M^-1[rr-19 & 0 0 & 15] M
(F) A^-1=M^-1[rr9 & 0 0 & -5] M
(G) Não sei