Calcule a projeção ortogonal de u sobre v quando u=(-1, 1,-1, ) e v=(2,1,2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a projeção ortogonal do vetor u sobre o vetor v. A matéria envolvida aqui é álgebra vetorial, e vamos precisar usar a fórmula da projeção de um vetor sobre outro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para a projeção de u sobre v. A projeção, que a gente escreve como projv,u, é dada por:
projv,u = ( ,u cdot v,,v cdot v, ) v
Aqui, o símbolo “ cdot” representa o produto escalar entre os vetores.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar u cdot v. Temos:
u = (-1,,1,,-1) v = (2,,1,,2)
Então,
u cdot v = (-1) times 2 + 1 times 1 + (-1) times 2 = -2 + 1 - 2 = -3

Passo 4

Agora, vamos calcular v cdot v:
v cdot v = 2 times 2 + 1 times 1 + 2 times 2 = 4 + 1 + 4 = 9

Passo 5

Com esses valores, substituímos na fórmula da projeção:
projv,u = ( -3 9 ) v = ( -13 ) v

Passo 6

Multiplicando o escalar -13 pelo vetor v:
projv,u = -13 times (2,,1,,2) = ( -23,,-13,,-23 )

Resposta

A projeção ortogonal de u sobre v é:
projv,u = ( -23,,-13,,-23 )

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