Calcule a projeção ortogonal de u sobre v quando u=(-1, 1,-1, ) e v=(2,1,2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a projeção ortogonal do vetor u sobre o vetor v. A matéria envolvida aqui é álgebra vetorial, e vamos precisar usar a fórmula da projeção de um vetor sobre outro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para a projeção de u sobre v. A projeção, que a gente escreve como projv,u, é dada por:
projv,u = ( ,u cdot v,,v cdot v, ) v
Aqui, o símbolo “ cdot” representa o produto escalar entre os vetores.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar u cdot v. Temos:
u = (-1,,1,,-1) v = (2,,1,,2)
Então,
u cdot v = (-1) times 2 + 1 times 1 + (-1) times 2 = -2 + 1 - 2 = -3

Passo 4

Agora, vamos calcular v cdot v:
v cdot v = 2 times 2 + 1 times 1 + 2 times 2 = 4 + 1 + 4 = 9

Passo 5

Com esses valores, substituímos na fórmula da projeção:
projv,u = ( -3 9 ) v = ( -13 ) v

Passo 6

Multiplicando o escalar -13 pelo vetor v:
projv,u = -13 times (2,,1,,2) = ( -23,,-13,,-23 )

Resposta

A projeção ortogonal de u sobre v é:
projv,u = ( -23,,-13,,-23 )

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Sendo E=e1, e2, e3 e F=f1, f2, f3 bases, tais que,
& f1=e1-3 e2 & f2=e2+e3 & f3=e1-2 e2
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Calcule o produto misto [u, v, w] quando u=(1,0,0), v=(0,1,0) e w=(0,0,1)
Calcule o polinômio característico da matriz A abaixo:
A=[rrrrrrrr -1 & 1 & 0 & -1 & -7 & 3 & 6 & 7 -9 & -7 & 0 & 1 & -3 & -6 & -2 & -4 -2 & -6 & -4 & 5 & -4 & -2 & -7 & 3 0 & 0 & 0 & -3 & 1 & -7 & -5 & 7 0 & 0 & 0 & -49 & 11 & 3 & 3 & 2 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 5 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 7 & 4 & 3 ]
Dica: explore a estrutura em blocos da matriz.
(A) pc^A(lambda)=(-3-lambda)^2(-5-lambda)^2(-2-lambda)^2(5-lambda)^2
(B) pc^A(lambda)=(-4-lambda)^3(4-lambda)^3(3-lambda)(2-lambda)
© pc^A(lambda)=(-4-lambda)^3(4-lambda)^3(3-lambda)^2
(D) pc^A(lambda)=(-3-lambda)^3(-5-lambda)^3(-2-lambda)(5-lambda)
(E) pc^A(lambda)=(-3-lambda)^3(-5-lambda)^2(-2-lambda)^2(5-lambda)
(F) pc^A(lambda)=(-3-lambda)^3(-5-lambda)^3(-2-lambda)^2
(G) pc^A(lambda)=(-4-lambda)^2(4-lambda)^2(3-lambda)^2(2-lambda)^2
(H) pc^A(lambda)=(-4-lambda)^3(4-lambda)^2(3-lambda)^2(2-lambda)
(I) Não sei
Verifique se os vetores u=(3,6,9) e v=(1,2,3) são colineares utilizando o produto vetorial.