Calcule o polinômio característico da matriz A abaixo:
A=[rrrrrrrr 5 & 0 & 0 & 5 & -3 & -5 & 3 & -7 5 & -3 & 1 & 7 & -3 & 6 & 3 & 1 -7 & -64 & 13 & -1 & 4 & -3 & 7 & 1 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & -5 & 7 & -1 0 & 0 & 0 & -16 & 7 & -3 & 6 & 2 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & 2 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & -49 & -12 ]
Dica: explore a estrutura em blocos da matriz.
(A) pc^A(lambda)=(5-lambda)^3(3-lambda)^3(-5-lambda)^2
(B) pc^A(lambda)=(-4-lambda)^3(2-lambda)^3(-2-lambda)(4-lambda)
© pc^A(lambda)=(5-lambda)^3(3-lambda)^3(-5-lambda)(-3-lambda)
(D) pc^A(lambda)=(-4-lambda)^2(2-lambda)^2(-2-lambda)^2(4-lambda)^2
(E) pc^A(lambda)=(-4-lambda)^3(2-lambda)^2(-2-lambda)^2(4-lambda)
(F) pc^A(lambda)=(-4-lambda)^3(2-lambda)^3(-2-lambda)^2
(G) pc^A(lambda)=(5-lambda)^2(3-lambda)^2(-5-lambda)^2(-3-lambda)^2
(H) pc^A(lambda)=(5-lambda)^3(3-lambda)^2(-5-lambda)^2(-3-lambda)
(I) Não sei

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o polinômio característico da matriz dada. O polinômio característico é uma ferramenta importante na álgebra linear que nos ajuda a encontrar os valores próprios (ou autovalores) de uma matriz. Para isso, vamos precisar usar conceitos de matrizes em blocos e propriedades de determinantes.

Passo 2

A dica nos orienta a explorar a estrutura em blocos da matriz . Observando a matriz, vemos que ela pode ser dividida em duas partes principais: uma parte superior que contém os primeiros três blocos de linhas e outra inferior que contém os últimos cinco blocos de linhas.

Passo 3

Vamos reorganizar a matriz A = A11 & A12 0 & A22 para identificar melhor esses blocos:
Aqui, é a submatriz dos primeiros três blocos de linhas e é a submatriz dos últimos cinco blocos de linhas. Note que a parte inferior esquerda é uma matriz zero, o que facilita o cálculo do determinante.

Passo 4

Para matrizes em blocos dessa forma, o determinante de det(A - lambda I) = det(A11 - lambda I3) cdot det(A22 - lambda I5) (onde é a matriz identidade) é o produto dos determinantes dos blocos principais:
Assim, o polinômio característico será o produto dos polinômios característicos de e .

Passo 5

Vamos calcular o determinante para cada bloco separadamente.
Para A11 = 5 & 0 & 0 5 & -3 & 1 -7 & -64 & 13 :
det(A11 - lambda I3) = (5 - lambda)(-3 - lambda)(13 - lambda)
Como A22 = -1 & 1 & -5 & 7 & -1 -16 & 7 & -3 & 6 & 2 0 & 0 & 3 & 0 & 0 0 & 0 & 6 & 2 & 1 0 & 0 & 2 & -49 & -12 é uma matriz triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal:
Para :
Observe que possui uma estrutura onde as primeiras duas colunas têm zeros abaixo delas, o que indica que podemos simplificar o cálculo do determinante. Após simplificar, descobrimos que os autovalores associados a este bloco são , com multiplicidades adequadas.

Passo 6

Multiplicando os determinantes dos dois blocos, obtemos o polinômio característico completo:
pc^A(lambda) = (5 - lambda)^3 (3 - lambda)^3 (-5 - lambda)^2

Resposta

A alternativa correta é a letra F:
pc^A(lambda) = (-4-lambda)^3(2-lambda)^3(-2-lambda)^2

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