Calcule o polinômio característico da matriz abaixo:
Dica: explore a estrutura em blocos da matriz.
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o polinômio característico da matriz dada. O polinômio característico é uma ferramenta importante na álgebra linear que nos ajuda a encontrar os valores próprios (ou autovalores) de uma matriz. Para isso, vamos precisar usar conceitos de matrizes em blocos e propriedades de determinantes.

Passo 2

A dica nos orienta a explorar a estrutura em blocos da matriz . Observando a matriz, vemos que ela pode ser dividida em duas partes principais: uma parte superior que contém os primeiros três blocos de linhas e outra inferior que contém os últimos cinco blocos de linhas.

Passo 3

Vamos reorganizar a matriz para identificar melhor esses blocos:
Aqui, é a submatriz dos primeiros três blocos de linhas e é a submatriz dos últimos cinco blocos de linhas. Note que a parte inferior esquerda é uma matriz zero, o que facilita o cálculo do determinante.

Passo 4

Para matrizes em blocos dessa forma, o determinante de (onde é a matriz identidade) é o produto dos determinantes dos blocos principais:
Assim, o polinômio característico será o produto dos polinômios característicos de e .

Passo 5

Vamos calcular o determinante para cada bloco separadamente.
Para :
Como é uma matriz triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal:
Para :
Observe que possui uma estrutura onde as primeiras duas colunas têm zeros abaixo delas, o que indica que podemos simplificar o cálculo do determinante. Após simplificar, descobrimos que os autovalores associados a este bloco são , com multiplicidades adequadas.

Passo 6

Multiplicando os determinantes dos dois blocos, obtemos o polinômio característico completo:

Resposta

A alternativa correta é a letra F:

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Considere os vetores e .
Determine um vetor que seja ortogonal a ambos e .
Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos abaixo e a distância entre eles.
e
Determine a equação cartesiana do plano que contém o ponto e a reta
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se e , então possui 8 autovalores reais distintos.
II - A matriz possui uma base de autovetores.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas II é verdadeira.
© Todas são verdadeiras.
(D) Apenas I é verdadeira.
(E) Não sei