Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o polinômio característico da matriz dada. O polinômio característico é uma ferramenta importante na álgebra linear que nos ajuda a encontrar os valores próprios (ou autovalores) de uma matriz. Para isso, vamos precisar usar conceitos de matrizes em blocos e propriedades de determinantes.
Passo 2
A dica nos orienta a explorar a estrutura em blocos da matriz . Observando a matriz, vemos que ela pode ser dividida em duas partes principais: uma parte superior que contém os primeiros três blocos de linhas e outra inferior que contém os últimos cinco blocos de linhas.
Passo 3
Vamos reorganizar a matriz para identificar melhor esses blocos:
Aqui, é a submatriz dos primeiros três blocos de linhas e é a submatriz dos últimos cinco blocos de linhas. Note que a parte inferior esquerda é uma matriz zero, o que facilita o cálculo do determinante.
Passo 4
Para matrizes em blocos dessa forma, o determinante de (onde é a matriz identidade) é o produto dos determinantes dos blocos principais:
Assim, o polinômio característico será o produto dos polinômios característicos de e .
Passo 5
Vamos calcular o determinante para cada bloco separadamente.
Para :
Como é uma matriz triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal:
Para :
Observe que possui uma estrutura onde as primeiras duas colunas têm zeros abaixo delas, o que indica que podemos simplificar o cálculo do determinante. Após simplificar, descobrimos que os autovalores associados a este bloco são , com multiplicidades adequadas.
Passo 6
Multiplicando os determinantes dos dois blocos, obtemos o polinômio característico completo: