Considere os vetores u=(1,-1,4), v=(3,2,-2) e w=(0,-2,1).
Determine um vetor que seja ortogonal a ambos v e v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar um vetor que seja ortogonal a ambos os vetores v e w. Ortogonal significa que o vetor que estamos procurando tem um ângulo de 90 graus com os vetores v e w. Para resolver isso, vamos usar o produto vetorial, que nos dá exatamente um vetor perpendicular a dois vetores dados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto vetorial. Se tivermos dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3), o produto vetorial a times b é dado por:
a times b = ( a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1 )
Isso vai nos dar um novo vetor que é perpendicular a a e b.

Passo 3

Vamos aplicar isso aos nossos vetores v = (3, 2, -2) e w = (0, -2, 1). Vamos calcular o produto vetorial v times w:
v times w = ( v2w3 - v3w2, v3w1 - v1w3, v1w2 - v2w1 )
Substituindo os valores:
v times w = ( 2 cdot 1 - (-2) cdot (-2), (-2) cdot 0 - 3 cdot 1, 3 cdot (-2) - 2 cdot 0 )

Passo 4

Vamos calcular cada componente:
  • Primeira componente:
2 cdot 1 - (-2) cdot (-2) = 2 - 4 = -2
  • Segunda componente:
(-2) cdot 0 - 3 cdot 1 = 0 - 3 = -3
  • Terceira componente:
3 cdot (-2) - 2 cdot 0 = -6 - 0 = -6

Passo 5

Então, o vetor resultante do produto vetorial é:
v times w = (-2, -3, -6)
Esse é o vetor que é ortogonal a ambos v e w.

Resposta

Um vetor ortogonal a ambos v e w é n = (-2, -3, -6).

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