Calcule o polinômio minimal de

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o polinômio minimal de uma matriz . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre polinômios característicos e minimal, além de trabalhar com matrizes em blocos. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na matriz :
Perceba que ela é uma matriz 4x4 que pode ser dividida em dois blocos menores: os primeiros 2x2 e os últimos 2x2. Isso facilita nossa vida na hora de calcular o polinômio minimal.

Passo 3

Vamos chamar o primeiro bloco de e o segundo de :
Nosso objetivo é encontrar o polinômio minimal de , que será o mínimo comum múltiplo (MCM) dos polinômios minimal de e .

Passo 4

Começamos encontrando o polinômio minimal de . Primeiro, identificamos os autovalores de . Como é uma matriz triangular superior, seus autovalores estão na diagonal: ambos são 2.
Como há dois autovalores iguais, precisamos ver a multiplicidade e o tamanho dos blocos de Jordan. No caso de , ele já está na forma de Jordan com um bloco de tamanho 2 para o autovalor 2. Portanto, o polinômio minimal de é:

Passo 5

Agora, vamos para o bloco . Primeiro, encontramos os autovalores resolvendo o determinante de :
As raízes desse polinômio são , que são autovalores distintos e complexos. Como os autovalores são distintos, o polinômio minimal de é igual ao seu polinômio característico:

Passo 6

Finalmente, o polinômio minimal de é o mínimo comum múltiplo dos polinômios minimal de e . Como e não têm fatores comuns (suas raízes são diferentes), o MCM é simplesmente o produto deles:

Resposta

O polinômio minimal de é:

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