Calcule o polinômio minimal de

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para calcular o **polinômio minimal** de uma matriz . Isso está dentro do conteúdo de **Álgebra Linear**, mais especificamente relacionado a polinômios de matrizes e autovalores. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o polinômio minimal e como identificar os autovalores da matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o **polinômio minimal**. Ele é o menor polinômio monico (ou seja, com coeficiente líder igual a 1) que, quando aplicado à matriz , resulta na matriz zero: . Para encontrá-lo, precisamos identificar os **autovalores** de e ver como eles se repetem.

Passo 3

Observando a matriz : Perceba que é uma matriz **triangular superior**, ou seja, todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Uma propriedade importante das matrizes triangulares é que seus **autovalores** são os elementos da diagonal principal. Então, os autovalores de são .

Passo 4

Agora, sabemos que o polinômio minimal deve ter fatores correspondentes a cada **autovalor** com a maior multiplicidade necessária para anular a matriz. Ou seja, para cada autovalor , veremos qual a maior potência tal que seja necessária. Para o autovalor , ele aparece uma vez, então teremos o fator . Para o autovalor , ele aparece três vezes. Precisamos verificar se há blocos de Jordan associadas a . Olhando a submatriz inferior: Vemos que ela não é diagonal, o que indica que existe um bloco de Jordan maior que . Especificamente, há um bloco de tamanho para , o que significa que precisamos do fator no polinômio minimal.

Passo 5

Juntando tudo, o **polinômio minimal** de será o produto dos fatores correspondentes aos seus autovalores, levando em conta as maiores potências necessárias para cada um. Portanto, temos:

Resposta

O polinômio minimal de é .

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