Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para calcular o **polinômio minimal** de uma matriz . Isso está dentro do conteúdo de **Álgebra Linear**, mais especificamente relacionado a polinômios de matrizes e autovalores. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o polinômio minimal e como identificar os autovalores da matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o **polinômio minimal**. Ele é o menor polinômio monico (ou seja, com coeficiente líder igual a 1) que, quando aplicado à matriz , resulta na matriz zero: . Para encontrá-lo, precisamos identificar os **autovalores** de e ver como eles se repetem.
Passo 3
Observando a matriz :
Perceba que é uma matriz **triangular superior**, ou seja, todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Uma propriedade importante das matrizes triangulares é que seus **autovalores** são os elementos da diagonal principal. Então, os autovalores de são .
Passo 4
Agora, sabemos que o polinômio minimal deve ter fatores correspondentes a cada **autovalor** com a maior multiplicidade necessária para anular a matriz. Ou seja, para cada autovalor , veremos qual a maior potência tal que seja necessária.
Para o autovalor , ele aparece uma vez, então teremos o fator .
Para o autovalor , ele aparece três vezes. Precisamos verificar se há blocos de Jordan associadas a . Olhando a submatriz inferior:
Vemos que ela não é diagonal, o que indica que existe um bloco de Jordan maior que . Especificamente, há um bloco de tamanho para , o que significa que precisamos do fator no polinômio minimal.
Passo 5
Juntando tudo, o **polinômio minimal** de será o produto dos fatores correspondentes aos seus autovalores, levando em conta as maiores potências necessárias para cada um. Portanto, temos: