Calcule o polinômio minimal de
A=(llll 2 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 1 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para calcular o polinômio minimal de uma matriz . Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente relacionado a polinômios de matrizes e autovalores. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o polinômio minimal e como identificar os autovalores da matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio minimal. Ele é o menor polinômio monico (ou seja, com coeficiente líder igual a 1) que, quando aplicado à matriz , resulta na matriz zero: . Para encontrá-lo, precisamos identificar os autovalores de e ver como eles se repetem.

Passo 3

Observando a matriz A = 2 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 1 :
Perceba que é uma matriz triangular superior, ou seja, todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Uma propriedade importante das matrizes triangulares é que seus autovalores são os elementos da diagonal principal. Então, os autovalores de são .

Passo 4

Agora, sabemos que o polinômio minimal deve ter fatores correspondentes a cada autovalor com a maior multiplicidade necessária para anular a matriz. Ou seja, para cada autovalor 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 , veremos qual a maior potência tal que seja necessária.
Para o autovalor , ele aparece uma vez, então teremos o fator .
Para o autovalor , ele aparece três vezes. Precisamos verificar se há blocos de Jordan associadas a . Olhando a submatriz inferior:
Vemos que ela não é diagonal, o que indica que existe um bloco de Jordan maior que . Especificamente, há um bloco de tamanho para , o que significa que precisamos do fator no polinômio minimal.

Passo 5

Juntando tudo, o polinômio minimal de p(x) = (x - 2)(x - 1)^3 será o produto dos fatores correspondentes aos seus autovalores, levando em conta as maiores potências necessárias para cada um. Portanto, temos:

Resposta

O polinômio minimal de é .

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