As seguintes séries são geométricas. Determine se são ou não são convergentes. Se for convergente, determine o seu valor.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma série geométrica dada por:
Precisamos determinar se essa série converge ou não. Se ela convergir, também vamos encontrar o valor da soma.
Passo 2
Vamos entender o que é uma série geométrica. Uma série geométrica é uma soma infinita onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão comum (). A forma geral de uma série geométrica é:
Aqui, é o primeiro termo e é a razão comum.
Passo 3
Para saber se uma série geométrica converge, precisamos analisar o valor de :
Se , a série converge.
Se , a série diverge.
Além disso, se a série converge, a soma pode ser calculada pela fórmula:
Passo 4
Agora, vamos identificar os valores de e na nossa série:
Comparando com a forma geral :
A nossa série começa em , então podemos reescrevê-la assim:
Assim, temos:
Passo 5
Vamos verificar se a série converge analisando :
Como , a série geométrica converge.
Passo 6
Como a série converge, vamos calcular a soma usando a fórmula: