As seguintes séries são geométricas. Determine se são ou não são convergentes. Se for convergente, determine o seu valor. sumn=1^infty 4^n5^n

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma série geométrica dada por:
sumn=1^infty 4^n5^n
Precisamos determinar se essa série converge ou não. Se ela convergir, também vamos encontrar o valor da soma.

Passo 2

Vamos entender o que é uma série geométrica. Uma série geométrica é uma soma infinita onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão comum ( sumn=0^infty ar^n). A forma geral de uma série geométrica é:
Aqui, é o primeiro termo e é a razão comum.

Passo 3

Para saber se uma série geométrica converge, precisamos analisar o valor de S = a1 - r:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
Além disso, se a série converge, a soma pode ser calculada pela fórmula:

Passo 4

Agora, vamos identificar os valores de sumn=1^infty 4^n5^n = sumn=1^infty (45)^n e sumn=1^infty (45)^n = (45) sumn=0^infty (45)^n na nossa série:
Comparando com a forma geral :
  • A nossa série começa em , então podemos reescrevê-la assim:
  • Assim, temos:

Passo 5

Vamos verificar se a série converge analisando |r| = |45| = 45 < 1:
Como , a série geométrica converge.

Passo 6

Como a série converge, vamos calcular a soma S = a1 - r usando a fórmula:
S = 451 - 45 = 4515
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 7

Simplificando a fração:
S = 45 times 51 = 4

Resposta

A série converge e a soma é igual a 4.

Exercícios relacionados