As seguintes séries são geométricas. Determine se são ou não são convergentes. Se for convergente, determine o seu valor.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma série geométrica dada por:
Precisamos determinar se essa série converge ou não. Se ela convergir, também vamos encontrar o valor da soma.

Passo 2

Vamos entender o que é uma série geométrica. Uma série geométrica é uma soma infinita onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão comum ( ). A forma geral de uma série geométrica é:
Aqui, é o primeiro termo e é a razão comum.

Passo 3

Para saber se uma série geométrica converge, precisamos analisar o valor de :
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
Além disso, se a série converge, a soma pode ser calculada pela fórmula:

Passo 4

Agora, vamos identificar os valores de e na nossa série:
Comparando com a forma geral :
  • A nossa série começa em , então podemos reescrevê-la assim:
  • Assim, temos:

Passo 5

Vamos verificar se a série converge analisando :
Como , a série geométrica converge.

Passo 6

Como a série converge, vamos calcular a soma usando a fórmula:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 7

Simplificando a fração:

Resposta

A série converge e a soma é igual a 4.

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