Determine se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule a sua soma. sumn=1^+infty n(n+2)(n+3)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a série converge ou diverge. Se ela convergir, também vamos calcular a soma. Para isso, vamos usar o Teste da Divergência, que ajuda a determinar se uma série não converge simplesmente analisando o limite do termo geral quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é . O Teste da Divergência diz que se o limite de quando vai para o infinito não for zero, a série diverge.

Passo 3

Vamos calcular o limite de limn to infty n(n+2)(n+3)^2 quando limn to infty n^2 + 2nn^2 + 6n + 9 = limn to infty n^2(1 + 2n)n^2(1 + 6n + 9n^2) = 1 + 01 + 0 + 0 = 1 tende ao infinito:
Vamos simplificar os termos de maior grau no numerador e no denominador:

Passo 4

Como o limite de é 1, que não é zero, segundo o Teste da Divergência, a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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