f(x) = { h x / a, 0 <= x <= a ; h / (a - L) (x - L), a <= x <= L }
(i) Obtenha a série de Fourier de f(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Fourier da função que é definida por partes no intervalo . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de Fourier, que são maneiras de representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, precisamos saber se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas. Isso ajuda a decidir se a série de Fourier vai ter apenas cossenos, apenas senos ou ambas. Olhando para a definição de , vemos que ela não é nem par nem ímpar, então vamos precisar usar senos e cossenos.

Passo 3

A próxima coisa que vamos fazer é calcular os coeficientes da série de Fourier. A série geral é dada por:
Vamos precisar encontrar , e .

Passo 4

Começamos calculando , que representa a média da função no intervalo. A fórmula é:
Vamos dividir a integral nos dois intervalos onde está definida.

Passo 5

Calculando a integral para :
E para :

Passo 6

Somando as duas integrais para encontrar :

Passo 7

Agora, vamos calcular os coeficientes :
Dividimos novamente a integral nos dois intervalos.

Passo 8

Calculando para :
E para :
Essas integrais podem ser resolvidas usando integração por partes, mas para simplificar, vamos manter a expressão geral.

Passo 9

De maneira similar, calculamos os coeficientes :
Novamente, dividimos em duas integrais nos intervalos definidos.

Passo 10

Finalmente, juntando tudo, a série de Fourier de fica:
Onde os coeficientes e são calculados conforme mostrado.

Resposta

A série de Fourier de é dada por:
onde os coeficientes e são calculados pelas integrais definidas nos passos anteriores.

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