(i) Obtenha a série de Fourier de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Fourier da função
que é definida por partes no intervalo
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de Fourier, que são maneiras de representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, precisamos saber se a função
é par, ímpar ou nenhuma das duas. Isso ajuda a decidir se a série de Fourier vai ter apenas cossenos, apenas senos ou ambas. Olhando para a definição de
, vemos que ela não é nem par nem ímpar, então vamos precisar usar senos e cossenos.
Passo 3
A próxima coisa que vamos fazer é calcular os coeficientes da série de Fourier. A série geral é dada por:
Vamos precisar encontrar
,
e
.
Passo 4
Começamos calculando
, que representa a média da função no intervalo. A fórmula é:
Vamos dividir a integral nos dois intervalos onde
está definida.
Passo 5
Calculando a integral para
:
E para
:
Passo 6
Somando as duas integrais para encontrar
:
Passo 7
Agora, vamos calcular os coeficientes
:
Dividimos novamente a integral nos dois intervalos.
Passo 8
Calculando para
:
E para
:
Essas integrais podem ser resolvidas usando integração por partes, mas para simplificar, vamos manter a expressão geral.
Passo 9
De maneira similar, calculamos os coeficientes
:
Novamente, dividimos em duas integrais nos intervalos definidos.
Passo 10
Finalmente, juntando tudo, a série de Fourier de
fica:
Onde os coeficientes
e
são calculados conforme mostrado.
Resposta
A série de Fourier de
é dada por:
onde os coeficientes
e
são calculados pelas integrais definidas nos passos anteriores.