lim =e

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado do exercício: precisamos calcular o limite . Este exercício está relacionado ao estudo de limites em Cálculo, especificamente à definição do número de Euler, . Para resolver, vamos precisar aplicar propriedades de limites e utilizar a definição de através de uma sequência.

Passo 2

Vamos começar simplificando a expressão do limite. Quando lidamos com potências que envolvem variáveis no expoente e na base, é útil aplicar logaritmos para facilitar o cálculo. Assim, vamos definir:
L = limx to 0 (1 + x)^1/x
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
ln L = limx to 0 ln(1 + x)x

Passo 3

Agora, precisamos calcular o limite limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x) . Este limite é uma forma indeterminada do tipo , o que nos permite aplicar a Regra de L’Hôpital. De acordo com a Regra de L’Hôpital, se resulta em uma forma indeterminada ou , então:
Desde que os limites dos derivados existam.

Passo 4

Aplicando a Regra de L’Hôpital ao nosso limite:
limx to 0 ln(1 + x)x = limx to 0 ddx ln(1 + x)ddx x = limx to 0 11 + x1 = 11 + 0 = 1

Passo 5

Sabemos que L = e^1 = e , portanto, para encontrar , tomamos a exponencial dos dois lados:

Resposta

limx to 0 (1 + x)^1/x = e

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