Calcule o polinômio de Taylor (em uma vizinhança de
) de grau 5 da função
.
Passo 1
Beleza, vamos calcular o polinômio de Taylor de grau 5 para a função
em torno de
. O polinômio de Taylor nos ajuda a aproximar uma função por um polinômio perto de um ponto específico. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas de
até a quinta ordem e avaliar cada uma delas em
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula do polinômio de Taylor de grau
para uma função
em torno de
:
No nosso caso,
, então a fórmula simplifica para:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
até a quinta ordem e avaliar em
.
Primeira derivada:
Avaliada em 0:
Segunda derivada:
Avaliada em 0:
Terceira derivada:
Avaliada em 0:
Quarta derivada:
Avaliada em 0:
Quinta derivada:
Avaliada em 0:
Passo 4
Agora que temos todas as derivadas avaliadas em 0, podemos substituir na fórmula do polinômio de Taylor:
Substituindo os valores:
Passo 5
Simplificando os coeficientes:
Resposta
O polinômio de Taylor de grau 5 da função
em torno de
é: