Calcule o polinômio de Taylor (em uma vizinhança de x0 = 0 ) de grau 5 da função f(x) = x * e^x.

Passo 1

Beleza, vamos calcular o polinômio de Taylor de grau 5 para a função em torno de . O polinômio de Taylor nos ajuda a aproximar uma função por um polinômio perto de um ponto específico. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas de até a quinta ordem e avaliar cada uma delas em .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do polinômio de Taylor de grau para uma função em torno de :
No nosso caso, , então a fórmula simplifica para:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de até a quinta ordem e avaliar em .
Primeira derivada:
Avaliada em 0:
Segunda derivada:
Avaliada em 0:
Terceira derivada:
Avaliada em 0:
Quarta derivada:
Avaliada em 0:
Quinta derivada:
Avaliada em 0:

Passo 4

Agora que temos todas as derivadas avaliadas em 0, podemos substituir na fórmula do polinômio de Taylor:
Substituindo os valores:

Passo 5

Simplificando os coeficientes:

Resposta

O polinômio de Taylor de grau 5 da função em torno de é:

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