Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo
com a condição inicial
. O conteúdo aqui é de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, a gente vai precisar usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, precisamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear, que é
. No nosso caso, temos
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é dado pela fórmula
. Como
, temos:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Passo 5
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Então podemos escrever:
Passo 6
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Isso simplifica para:
Passo 7
A integral do lado direito pode ser resolvida por partes. Vamos resolver
:
Usando integração por partes duas vezes, encontramos:
Multiplicando por 4:
Passo 8
Voltando à equação:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 9
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Simplificando:
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) de grau 5 da função
.
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,
e
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