Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo com a condição inicial . O conteúdo aqui é de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, a gente vai precisar usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, precisamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear, que é . No nosso caso, temos e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é dado pela fórmula . Como , temos:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :

Passo 5

Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto . Então podemos escrever:

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :
Isso simplifica para:

Passo 7

A integral do lado direito pode ser resolvida por partes. Vamos resolver :
Usando integração por partes duas vezes, encontramos:
Multiplicando por 4:

Passo 8

Voltando à equação:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 9

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :

Resposta

A solução da equação diferencial é:
Simplificando:

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