Determine o limite, se existir, ou mostre que não existe

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve duas variáveis, e , que estão se aproximando de . A matéria que estamos mexendo aqui é Cálculo Multivariável, especificamente limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como analisar limites em várias direções e ver se o limite existe ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão que queremos calcular:
Aqui, temos uma fração onde o numerador é e o denominador é . Nosso objetivo é ver o que acontece com essa fração quando e se aproximam de zero.

Passo 3

Uma estratégia comum para calcular limites de funções de várias variáveis é verificar o limite ao longo de diferentes caminhos que levam ao ponto . Se encontrarmos diferentes limites ao longo de diferentes caminhos, isso significa que o limite geral não existe. Se o limite for o mesmo em todos os caminhos, então o limite existe e é esse valor.

Passo 4

Vamos começar analisando o comportamento de quando está próximo de zero. Sabemos que pode ser aproximado por quando é pequeno. Portanto, podemos simplificar nossa expressão:
Então, a expressão original fica aproximadamente:

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite ao longo de diferentes caminhos. Primeiro, consideremos o caminho onde :
Então, ao longo do caminho , o limite é 0.

Passo 6

Vamos agora considerar o caminho onde :
Novamente, o limite é 0 ao longo do caminho .

Passo 7

Vamos tentar um caminho diferente, onde , onde é uma constante. Substituindo por na expressão, temos:
Simplificando a fração:
À medida que se aproxima de 0, tende a infinito, o que implicaria que o limite não é finito. Porém, isso sugere que ao longo desse caminho, o limite não é 0, indicando que o limite geral pode não existir.

Passo 8

Contudo, percebemos que no Passo 7, fizemos uma simplificação incorreta. Vamos reavaliar:
Substituindo :
Agora, quando , , então temos:
Aqui, à medida que , essa expressão tende a infinito, o que indica que o limite não existe ao longo desse caminho.

Passo 9

Como encontramos um caminho ( ) onde o limite não é 0, isso significa que o limite geral da função quando se aproxima de não existe.

Resposta

O limite não existe.

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(a) A definição de limite