Determine o limite, se existir, ou mostre que não existe
lim (x, y) (0,0) x^2 y e^yx^4+4 y^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve duas variáveis, e , que estão se aproximando de . A matéria que estamos mexendo aqui é Cálculo Multivariável, especificamente limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como analisar limites em várias direções e ver se o limite existe ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão que queremos calcular:
lim (x, y) (0,0) x^2 y e^yx^4+4 y^4
Aqui, temos uma fração onde o numerador é e o denominador é . Nosso objetivo é ver o que acontece com essa fração quando e se aproximam de zero.

Passo 3

Uma estratégia comum para calcular limites de funções de várias variáveis é verificar o limite ao longo de diferentes caminhos que levam ao ponto . Se encontrarmos diferentes limites ao longo de diferentes caminhos, isso significa que o limite geral não existe. Se o limite for o mesmo em todos os caminhos, então o limite existe e é esse valor.

Passo 4

Vamos começar analisando o comportamento de e^y approx 1 + y quando x^2 y (1 + y)x^4 + 4y^4 = x^2 y + x^2 y^2x^4 + 4y^4 está próximo de zero. Sabemos que pode ser aproximado por quando é pequeno. Portanto, podemos simplificar nossa expressão:
Então, a expressão original fica aproximadamente:

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite ao longo de diferentes caminhos. Primeiro, consideremos o caminho onde limx to 0 x^2 cdot 0 + x^2 cdot 0^2x^4 + 4 cdot 0^4 = limx to 0 0x^4 = 0 :
Então, ao longo do caminho , o limite é 0.

Passo 6

Vamos agora considerar o caminho onde limy to 0 0^2 cdot y + 0^2 cdot y^20^4 + 4y^4 = limy to 0 04y^4 = 0 :
Novamente, o limite é 0 ao longo do caminho .

Passo 7

Vamos tentar um caminho diferente, onde limx to 0 x^2 cdot kx + x^2 cdot (kx)^2x^4 + 4(kx)^4 = limx to 0 kx^3 + k^2x^4x^4 + 4k^4x^4 = limx to 0 kx^3 + k^2x^4x^4(1 + 4k^4) , onde limx to 0 kx^3 + k^2x^4x^4(1 + 4k^4) = limx to 0 kx^-1 + k^21 + 4k^4 é uma constante. Substituindo por na expressão, temos:
Simplificando a fração:
À medida que se aproxima de 0, tende a infinito, o que implicaria que o limite não é finito. Porém, isso sugere que ao longo desse caminho, o limite não é 0, indicando que o limite geral pode não existir.

Passo 8

Contudo, percebemos que no Passo 7, fizemos uma simplificação incorreta. Vamos reavaliar:
Substituindo x^2 cdot kx cdot e^kxx^4 + 4(kx)^4 = kx^3 e^kxx^4 + 4k^4x^4 = k e^kxx(1 + 4k^4) :
limx to 0 kx(1 + 4k^4)
Agora, quando , , então temos:
Aqui, à medida que , essa expressão tende a infinito, o que indica que o limite não existe ao longo desse caminho.

Passo 9

Como encontramos um caminho ( ) onde o limite não é 0, isso significa que o limite geral da função quando se aproxima de não existe.

Resposta

O limite não existe.

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