Determine o limite, se existir, ou mostre que não existe
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite que envolve duas variáveis,
e
, que estão se aproximando de
. A matéria que estamos mexendo aqui é Cálculo Multivariável, especificamente limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como analisar limites em várias direções e ver se o limite existe ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão que queremos calcular:
Aqui, temos uma fração onde o numerador é
e o denominador é
. Nosso objetivo é ver o que acontece com essa fração quando
e
se aproximam de zero.
Passo 3
Uma estratégia comum para calcular limites de funções de várias variáveis é verificar o limite ao longo de diferentes caminhos que levam ao ponto
. Se encontrarmos diferentes limites ao longo de diferentes caminhos, isso significa que o limite geral não existe. Se o limite for o mesmo em todos os caminhos, então o limite existe e é esse valor.
Passo 4
Vamos começar analisando o comportamento de
quando
está próximo de zero. Sabemos que
pode ser aproximado por
quando
é pequeno. Portanto, podemos simplificar nossa expressão:
Então, a expressão original fica aproximadamente:
Passo 5
Agora, vamos analisar o limite ao longo de diferentes caminhos. Primeiro, consideremos o caminho onde
:
Então, ao longo do caminho
, o limite é 0.
Passo 6
Vamos agora considerar o caminho onde
:
Novamente, o limite é 0 ao longo do caminho
.
Passo 7
Vamos tentar um caminho diferente, onde
, onde
é uma constante. Substituindo
por
na expressão, temos:
Simplificando a fração:
À medida que
se aproxima de 0,
tende a infinito, o que implicaria que o limite não é finito. Porém, isso sugere que ao longo desse caminho, o limite não é 0, indicando que o limite geral pode não existir.
Passo 8
Contudo, percebemos que no Passo 7, fizemos uma simplificação incorreta. Vamos reavaliar:
Substituindo
:
Agora, quando
,
, então temos:
Aqui, à medida que
, essa expressão tende a infinito, o que indica que o limite não existe ao longo desse caminho.
Passo 9
Como encontramos um caminho (
) onde o limite não é 0, isso significa que o limite geral da função quando
se aproxima de
não existe.
Resposta
O limite não existe.
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) de grau 5 da função
.
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Mostre que
, utilizando
(a) A definição de limite
(a) A definição de limite