Em quais pontos do plano cartesiano as funções abaixo são contínuas? Justifique e esboce a região de continuidade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir em quais pontos do plano cartesiano a função é contínua. Isso envolve entender o que é continuidade e verificar onde a fórmula da função faz sentido. Para resolver, vamos precisar saber sobre funções contínuas, propriedades da raiz quadrada e da arcotangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Uma função é contínua em um ponto se não tem “saltos” ou “interrupções” naquele ponto. No caso de funções de duas variáveis, como , devemos verificar a continuidade em cada ponto do plano.

Passo 3

Agora, vamos analisar a parte interna da função: . A raiz quadrada só está definida para números não negativos. Então, para ser real, precisamos que . Isso significa que o produto de e deve ser positivo ou zero.

Passo 4

Vamos entender quando :
  • Se e , então .
  • Se e , então .
  • Se ou , então .
Em qualquer outro caso (um positivo e o outro negativo), , o que não funciona para a raiz quadrada.

Passo 5

A próxima parte da função é . A função arcotangente está definida para todos os números reais, então não impõe restrições adicionais além das já consideradas para a raiz quadrada.

Passo 6

Como tanto a raiz quadrada quanto a arcotangente são funções contínuas em seus respectivos domínios, a composição delas, que é a nossa função , também será contínua onde estiver definida. Então, a continuidade da nossa função depende apenas de .

Resposta

A função é contínua em todos os pontos do plano cartesiano onde . Isso corresponde às regiões onde ambos e são positivos ou ambos são negativos, ou ainda onde pelo menos um deles é zero. Ou seja, a função é contínua nos quadrantes I e III, e nos eixos onde ou .

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Verifique se as funções abaixo são contínuas no ponto ( 0,0 ). Justifique.
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Calcule as integrais definidas: