Em quais pontos do plano cartesiano as funções abaixo são contínuas? Justifique e esboce a região de continuidade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir em quais pontos do plano cartesiano a função
é contínua. Isso envolve entender o que é continuidade e verificar onde a fórmula da função faz sentido. Para resolver, vamos precisar saber sobre funções contínuas, propriedades da raiz quadrada e da arcotangente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Uma função é contínua em um ponto se não tem “saltos” ou “interrupções” naquele ponto. No caso de funções de duas variáveis, como
, devemos verificar a continuidade em cada ponto
do plano.
Passo 3
Agora, vamos analisar a parte interna da função:
. A raiz quadrada só está definida para números não negativos. Então, para
ser real, precisamos que
. Isso significa que o produto de
e
deve ser positivo ou zero.
Passo 4
Vamos entender quando
:
- Se
e , então . - Se
e , então . - Se
ou , então .
Em qualquer outro caso (um positivo e o outro negativo),
, o que não funciona para a raiz quadrada.
Passo 5
A próxima parte da função é
. A função arcotangente está definida para todos os números reais, então não impõe restrições adicionais além das já consideradas para a raiz quadrada.
Passo 6
Como tanto a raiz quadrada quanto a arcotangente são funções contínuas em seus respectivos domínios, a composição delas, que é a nossa função
, também será contínua onde estiver definida. Então, a continuidade da nossa função depende apenas de
.
Resposta
A função
é contínua em todos os pontos do plano cartesiano onde
. Isso corresponde às regiões onde ambos
e
são positivos ou ambos são negativos, ou ainda onde pelo menos um deles é zero. Ou seja, a função é contínua nos quadrantes I e III, e nos eixos onde
ou
.
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, das seguintes funções:
Verifique se as funções abaixo são contínuas no ponto ( 0,0 ). Justifique.
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