Calcule os polinômios de Taylor de ordem um e dois das funções abaaixo nos pontos indicados:
(8.4) f(x, y) = k * x^a * y^b em P=(1, 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular os polinômios de Taylor de ordem um e dois para a função no ponto . Isso envolve usar derivadas parciais para aproximar a função perto desse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor da função no ponto :
Então, .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem de em relação a e :
No ponto :

Passo 4

Com esses valores, o polinômio de Taylor de primeira ordem fica assim:
Substituindo:

Passo 5

Agora, vamos para as derivadas parciais de segunda ordem:
No ponto :

Passo 6

Com todas as derivadas, o polinômio de Taylor de segunda ordem fica:
Substituindo:

Resposta

Os polinômios de Taylor da função no ponto são:
Polinômio de primeira ordem:
Polinômio de segunda ordem:

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