Use o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge. Certifique-se de que as condições do teste da integral sejam satisfeitas.
Determinando convergência ou divergência
Quais das séries nos Exercícios 11-40 convergem? E quais divergem? Justifique suas respostas. (Quando estiver checando uma resposta, lembre-se de que pode existir mais de uma forma para determinar a convergência ou divergência da série.)
11.
Passo 1
E aí! Vamos resolver esse exercício usando o Teste da Integral para descobrir se a série converge ou diverge. O Teste da Integral é útil para séries com termos que se comportam de forma contínua e decrescente. Vamos precisar verificar se a função associada aos termos da série é positiva, contínua e decrescente para aplicar o teste.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dos termos da série. O denominador pode ser fatorado:
Então, a série fica:
Passo 3
Agora, vamos analisar a função . Precisamos verificar se essa função é positiva, contínua e decrescente para .
Passo 4
Primeiro, a função é contínua para porque não há divisão por zero nesse intervalo. Para , , então o denominador é sempre positivo.
Passo 5
Vamos verificar se é positiva para :
Mas precisamos analisar melhor. Para :
Aqui, o termo é negativo. Isso significa que precisamos ajustar nossa estratégia, já que o Teste da Integral requer termos positivos. Podemos considerar o valor absoluto dos termos para aplicar o teste.
Passo 6
Vamos considerar a série . Agora, a função é positiva, contínua e precisamos verificar se é decrescente.
Passo 7
Para verificar se f'(x) = (1)(n-1)^2 - (n-4)(2)(n-1)(n-1)^4 é decrescente, podemos derivar f'(x) = (n-1) - 2(n-4)(n-1)^3 = n-1 - 2n + 8(n-1)^3 = -n + 7(n-1)^3 e verificar se a derivada é negativa para . Calculando a derivada:
Simplificando:
Para , é decrescente e se torna negativa quando . Para os valores menores, a derivada pode ser positiva, mas para grandes , ela é negativa, indicando que a função é decrescente.
Passo 8
Com isso, podemos aplicar o Teste da Integral na série . Vamos integrar a função de a .
Passo 9
Calculando a integral:
integral2^infty x-4(x-1)^2 dx
Fazendo a substituição integral1^infty (u+1)-4u^2 du = integral1^infty u-3u^2 du = integral1^infty ( 1u - 3u^2 ) du , então integral 1u du = ln|u| e os limites mudam para integral 3u^2 du = -3u a [ ln u + 3u ]1^infty :