Indique com limites de integração e utilizando coordenadas cilíndricas, as integrais iteradas que calculam:
(6.1) a massa do sólido limitado pelos parabolóides z = x^2 + y^2 e z = -x^2 - y^2 + 2, com densidade sigma(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 + 1

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a massa de um sólido limitado pelos parabolóides e , com densidade . Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são muito úteis para problemas com simetria circular.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender as coordenadas cilíndricas. Elas são definidas por , e , onde:
  • é a distância do ponto à origem no plano ,
  • é o ângulo em relação ao eixo ,
  • permanece o mesmo que nas coordenadas cartesianas.
A transformação é dada por:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é:

Passo 3

Vamos identificar a região do sólido. Os parabolóides se interceptam quando:
Em coordenadas cilíndricas, isso é , ou seja, .

Passo 4

Determine os limites de integração para . Para um dado e , varia entre os dois parabolóides:

Passo 5

Determine os limites para . Como , temos .

Passo 6

Para , como o sólido tem simetria completa em torno do eixo , varia de a .

Passo 7

Agora, vamos expressar a densidade em coordenadas cilíndricas:

Passo 8

Finalmente, montamos a integral iterada para calcular a massa:

Resposta

A integral iterada que calcula a massa do sólido é:

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