Indique com limites de integração e utilizando coordenadas cilíndricas, as integrais iteradas que calculam:
(6.1) a massa do sólido limitado pelos parabolóides
e
, com densidade
(6.1) a massa do sólido limitado pelos parabolóides
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a massa de um sólido limitado pelos parabolóides
e
, com densidade
. Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são muito úteis para problemas com simetria circular.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender as coordenadas cilíndricas. Elas são definidas por
,
e
, onde:
-
é a distância do ponto à origem no plano , -
é o ângulo em relação ao eixo , -
permanece o mesmo que nas coordenadas cartesianas.
A transformação é dada por:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é:
Passo 3
Vamos identificar a região do sólido. Os parabolóides se interceptam quando:
Em coordenadas cilíndricas, isso é
, ou seja,
.
Passo 4
Determine os limites de integração para
. Para um dado
e
,
varia entre os dois parabolóides:
Passo 5
Determine os limites para
. Como
, temos
.
Passo 6
Para
, como o sólido tem simetria completa em torno do eixo
,
varia de
a
.
Passo 7
Agora, vamos expressar a densidade
em coordenadas cilíndricas:
Passo 8
Finalmente, montamos a integral iterada para calcular a massa:
Resposta
A integral iterada que calcula a massa do sólido é:
Exercícios relacionados
Se
converge
para todo
, pode-se dizer algo sobre
? Justifique sua resposta.
Use o teorema de Lagrange para encontrar
e
conforme o caso:
(22.2) e
(22.2)
Calcule os polinômios de Taylor de ordem um e dois das funções abaaixo nos pontos indicados:
(8.4) em
(8.4)
Usando o critério de Sylvester determine se as funções abaixo possuem máximo local, mínimo local e pontos de sela:
(10.2)
(10.2)