Usando o critério de Sylvester determine se as funções abaixo possuem máximo local, mínimo local e pontos de sela:
(10.2)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usarmos o Critério de Sylvester para descobrir se a função tem um máximo local, mínimo local ou pontos de sela. Para isso, vamos precisar entender como aplicar esse critério, que geralmente ajuda a determinar se uma função quadrática é positiva ou negativa definida através da análise da sua matriz Hessiana.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a Matriz Hessiana da função . A Hessiana é uma matriz que contém todas as segundas derivadas parciais da função.
Para , as segundas derivadas parciais são:
E todas as derivadas cruzadas também são zero:
Então, a Matriz Hessiana é:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Critério de Sylvester. Esse critério diz que uma matriz é positiva definida se todos os seus menores principais (determinantes das submatrizes que começam do canto superior esquerdo) são positivos. De forma similar, é negativa definida se os menores alternam em sinal começando com negativo.
Para a nossa Hessiana :
O primeiro menor principal é .
O segundo menor principal é o determinante da submatriz de ordem 2:
O terceiro menor principal é o determinante completo de , que também é .
Como todos os menores principais são zero, não temos os sinais necessários para afirmar que é positiva ou negativamente definida.
Passo 4
Como a Matriz Hessiana não é nem positiva nem negativa definida, o Critério de Sylvester nos indica que a função não possui máximo local nem mínimo local. Além disso, por ser uma função linear, ela não tem pontos de sela no sentido tradicional que aparecem em funções não lineares.
Resposta
A função não possui máximo local, mínimo local ou pontos de sela.