Se
converge
para todo
, pode-se dizer algo sobre
? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem duas séries aqui: a primeira,
, que está convergindo e tem termos positivos (
para todo
). A pergunta é: o que podemos dizer sobre a segunda série,
? Para resolver isso, vamos precisar entender sobre convergência de séries e como comparar séries usando testes de comparação.
Passo 2
Primeiro, como a série
converge e os termos
são positivos, sabemos que os termos
tendem a zero quando
aumenta. Ou seja,
. Isso é importante porque, se os termos de uma série tendem a zero, é uma condição necessária para a convergência da série, mas não garante por si só que a série vai convergir.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a segunda série:
. Aqui, estamos tomando o inverso de
elevado a
. Como sabemos que
tende a zero,
está se tornando muito grande à medida que
aumenta. Elevando isso à potência
, esse termo cresce ainda mais rapidamente.
Passo 4
Para entender se a série
converge ou diverge, podemos usar o teste da divergência. Esse teste diz que se o limite dos termos da série não for zero, a série diverge. Vamos calcular esse limite:
Como
, então
e, portanto,
. Como o limite dos termos não é zero, a série
diverge.
Resposta
A série
diverge.
Exercícios relacionados
Use o teorema de Lagrange para encontrar
e
conforme o caso:
(22.2) e
(22.2)
Componha uma série infinita de termos diferentes de zero cuja soma seja (a) 1, (b) -3, © 0.
Indique com limites de integração e utilizando coordenadas cilíndricas, as integrais iteradas que calculam:
(6.1) a massa do sólido limitado pelos parabolóides e
, com densidade
(6.1) a massa do sólido limitado pelos parabolóides
Calcule os polinômios de Taylor de ordem um e dois das funções abaaixo nos pontos indicados:
(8.4) em
(8.4)