Determine se a série
converge ou diverge. Justifique sua resposta.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que determinar se a série infinita converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e análise de limite de termos da série.
Passo 2
Vamos analisar o termo geral da série, que é . Para entender o comportamento da série, precisamos saber para onde esse termo se aproxima quando
cresce muito, ou seja, quando
tende ao infinito.
Passo 3
Sabemos que, para valores pequenos de
, a função seno pode ser aproximada por . Como
se torna muito pequeno quando
aumenta, podemos usar essa aproximação:
Passo 4
Substituindo essa aproximação no termo
, temos:
Isso significa que, para valores grandes de
, o termo
se aproxima de 1.
Passo 5
Agora, lembramos de um teste importante para séries: se o limite do termo geral
quando
tende ao infinito não for zero, a série
diverge. Vamos calcular esse limite:
Passo 6
Como o limite do termo geral é 1, que é diferente de zero, concluímos, pelo Teste da Divergência, que a série diverge.
Resposta
A série diverge.
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(9.2)
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