Determine se a série sumn=1^infty n sen 1n converge ou diverge. Justifique sua resposta.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que determinar se a série infinita converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e análise de limite de termos da série.

Passo 2

Vamos analisar o termo geral da série, que é . Para entender o comportamento da série, precisamos saber para onde esse termo se aproxima quando cresce muito, ou seja, quando tende ao infinito.

Passo 3

Sabemos que, para valores pequenos de sen(1n) approx 1n , a função seno pode ser aproximada por . Como se torna muito pequeno quando aumenta, podemos usar essa aproximação:

Passo 4

Substituindo essa aproximação no termo an approx n cdot 1n = 1 , temos:
Isso significa que, para valores grandes de , o termo se aproxima de 1.

Passo 5

Agora, lembramos de um teste importante para séries: se o limite do termo geral limn to infty an = limn to infty n cdot sen(1n) = limn to infty 1 = 1 quando tende ao infinito não for zero, a série diverge. Vamos calcular esse limite:

Passo 6

Como o limite do termo geral é 1, que é diferente de zero, concluímos, pelo Teste da Divergência, que a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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